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(ex)Lucas总结

普通\(Lucas\)

求
\[ C_n^m\;mod\;p \]
其中\(n,m,p\leq 10^5\)其中\(p\)为质数
公式不难背，那就直接背吧。。。
\[ C_n^m\;mod\;p=C_{n\;mod\;p}^{m\;mod\;p}*C_{n/p}^{m/p} \]
如果\({n\;mod\;p}<{m\;mod\;p}\)就直接\(return\;0\)

int Lucas(int n, int m) { 
    if (!m) return 1; 
    else return 1ll * C(n % Mod, m % Mod) * Lucas(n / Mod, m / Mod) % Mod; 
} 

\(exLucas\)

设\(p=\prod {p_i}^{k_i}\)
如果我们可以求出每个\(C_n^m\;mod\;{p_i}^{k_i}\)就可以直接\(crt\)合并了
因为
\[ C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!} \]
所以问题转化为求几个阶乘以及阶乘的逆元。
所以关键在于如何快速求阶乘
为了方便统计出现了多少个\(p\)的次幂，我们先将阶乘中所有的\(p\)提出来。
可以简单的算出共有\(\left\lfloor\frac np\right\rfloor\)个，中间每一项都除\(p\)
可得\(\left\lfloor\frac np\right\rfloor!\)可以递归求解。
对于不可以提出来的，可以发现他们都对于\(mod\;p^k\)有一个循环节
把循环节中的和不在其中的暴力算就行了
部分代码

ll fac(ll n, ll pi, ll pk) { 
    if (!n) return 1; 
    ll res = 1; 
    for (ll i = 2; i <= pk; i++) 
        if (i % pi) res = res * i % pk; 
    res = fpow(res, n / pk, pk); 
    for (ll i = 2; i <= n % pk; i++) 
        if (i % pi) res = res * i % pk; 
    return res * fac(n / pi, pi, pk) % pk; 
} 
ll CRT(ll b, ll p, ll Mod) { return b * inv(p / Mod, Mod) % p * (p / Mod) % p; } 
ll C(ll n, ll m, ll pi, ll pk) { 
    ll fz = fac(n, pi, pk), fm1 = fac(m, pi, pk), fm2 = fac(n - m, pi, pk); 
    ll k = 0; 
    for (ll i = n; i; i /= pi) k += i / pi; 
    for (ll i = m; i; i /= pi) k -= i / pi; 
    for (ll i = n - m; i; i /= pi) k -= i / pi; 
    return fz * inv(fm1, pk) % pk * inv(fm2, pk) % pk * fpow(pi, k, pk) % pk; 
} 
ll exlucas(ll n, ll m, ll Mod) { 
    ll res = 0, tmp = Mod; 
    for (int i = 2; 1ll * i * i <= Mod; i++)
        if (tmp % i == 0) { 
            ll pk = 1; while (tmp % i == 0) pk *= i, tmp /= i; 
            res = (res + CRT(C(n, m, i, pk), Mod, pk)) % Mod; 
        } 
    if (tmp > 1) res = (res + CRT(C(n, m, tmp, tmp), Mod, tmp)) % Mod;
    return res; 
}

(ex)Lucas总结

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原文地址：https://www.cnblogs.com/heyujun/p/10207123.html