标签：define pac 技能 swa return 构造 gif make bit
计算形如$\sum_{i=1}^{n}a_if(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)$的式子
可以发现$\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$只有$O(\sqrt{n})$种取值，且相同的取值的i是连续的，所以可以$O(\sqrt{n})$来求
和i相同的的最后一个位置，是$n/(n/i)$
需要快速求出a_i的前缀和
例：$\sum{\mu(i)*\frac{n}{i}*\frac{m}{i}}$
inline int calc(int n,int m){ if(n>m) swap(n,m); int i=1,pos=1,re=0; for(;i<=n;i=pos+1){ pos=min(n/(n/i),m/(m/i)); re+=(mu[pos]-mu[i-1])*(n/i)*(m/i); }return re; }
当x有次数>=2的质因子时，$\mu(x)=0$
否则，设k为x的质因子数量，$\mu(x)=(-1)^k$
特殊地，$\mu(1)=1$ （其实也不特殊..）
$\mu$是积性函数，可以线性筛出。有时也可以作为容斥系数
有$\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]$，可用二项式定理证明
已知数论函数$F(n)$且$F(n)=\sum_{d|n}f(d)$
则有$f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})$
以及另一种形式（d是n的倍数）：
$F(n)=\sum_{n|d}f(d)$
$f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)$
具体应用时，需要构造f和F，要求f，但是F比较好求
luogu2155 YY的GCD ,参见http://www.cnblogs.com/peng-ym/p/8652288.html
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define CLR(a,x) memset(a,x,sizeof(a)) 3 #define MP make_pair 4 using namespace std; 5 typedef long long ll; 6 typedef unsigned long long ull; 7 typedef pair<int,int> pa; 8 const int maxn=1e7+10; 9 10 inline ll rd(){ 11 ll x=0;char c=getchar();int neg=1; 12 while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘) neg=-1;c=getchar();} 13 while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘) x=x*10+c-‘0‘,c=getchar(); 14 return x*neg; 15 } 16 17 int g[maxn],pri[maxn],cnt,T,mu[maxn]; 18 bool np[maxn]; 19 20 inline ll calc(int n,int m){ 21 if(n>m) swap(n,m); 22 ll re=0; 23 for(int i=1,pos;i<=n;i=pos+1){ 24 pos=min(n/(n/i),m/(m/i)); 25 re+=1ll*(n/i)*(m/i)*(g[pos]-g[i-1]); 26 }return re; 27 } 28 29 int main(){ 30 //freopen("","r",stdin); 31 int i,j,k; 32 g[1]=0;np[1]=1;mu[1]=1; 33 for(i=2;i<=1e7;i++){ 34 if(!np[i]){ 35 pri[++cnt]=i; 36 g[i]=1;mu[i]=-1; 37 } 38 for(j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<=1e7;j++){ 39 np[i*pri[j]]=1; 40 if(i%pri[j]==0){ 41 g[i*pri[j]]=mu[i];break; 42 } 43 g[i*pri[j]]=mu[i]-g[i]; 44 mu[i*pri[j]]=mu[i]*mu[pri[j]]; 45 } 46 } 47 for(i=1;i<=1e7;i++) g[i]+=g[i-1]; 48 for(T=rd();T;T--){ 49 printf("%lld\n",calc(rd(),rd())); 50 } 51 return 0; 52 }
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原文地址：https://www.cnblogs.com/Ressed/p/10226687.html
