标签：常见 arp 算子 矩阵 nbsp 等价 rac time ||
向量范数：
性质：
(1)正性：$||X||>0$且$||X|| \Leftrightarrow X=0$
(2)奇性：$||kX||=|k|||X||$
(3)三角形：$||X+Y|| \le ||X|| + ||Y||$，推论$| ||X|| - ||Y|| | \le ||X-Y||$
范数定义：V是线性空间（在复数域上），V上一个实值$\varphi(X)=||X||$叫范数，适合：
(1)正性：$ \varphi(X)=||X||>0$且$||X|| \Leftrightarrow X=0$
(2)奇性：$ \varphi(kX)=|k|\varphi(X)$
(3) 三角性：$ \varphi(X+Y) \le \varphi(X) + \varphi(Y) $
空间$V \in C^n$常见范数$\varphi(X)$，$X，Y \in C^n$：
(1)取$\varphi (X) = ||X|{|_2} = \sqrt {(X,X)} = \sqrt {|{X_1}{|^2} + ... + |{X_n}{|^2}} $，又叫F范数，$"|X|"$。
(2)取$\varphi (X)=||X||_{ \infty }=max{|X_1|,...,|X_n|}$，叫做最大值范数，又叫“$\infty$”范数
(3)取$\varphi (X)=|X|_1+...|X|_n$，记为$||X||_1$，叫做”和范数“
(4)取$\varphi (X)=(|X|_1^2+...|X|_n^2)^(\frac{1}{p})$，记为$||X||_p$，叫做”p范数“
注意：\[\mathop {\lim }\limits_{p \to \infty } ||X|{|_p} = \mathop {\lim }\limits_{p \to \infty } {({\left| {{X_1}} \right|^{\frac{1}{p}}} + ... + {\left| {{X_n}} \right|^{\frac{1}{p}}})^{^{\frac{1}{p}}}} = \max (\left| {{X_1}} \right| + ... + \left| {{X_n}} \right|) = ||X|{|_\infty }\]
向量范数等价定理： $C^n$上任两种范数$||X||_a, ||X||_b$适合：
\[{k_1} \le \frac{{||X|{|_a}}}{{||X|{|_b}}} \le {k_2}\]
$k_1 < k_2$都是固定整数，称$||X||_a$和||X||_b等价，记为$||X||_a \approx ||X||_b$
方阵范数：方阵空间$C^{n \times n}$上一个函数$\varphi(A)=||A||$叫一个“方阵范数”，如果适合以下条件：
(1)正性：$||X||>0$且$||X|| \Leftrightarrow X=0$
(2)奇性：$||kX||=|k|||X||$
(3)三角形：$||X+Y|| \le ||X|| + ||Y||$，推论$| ||X|| - ||Y|| | \le ||X-Y||$
(4)次乘性：$||XY|| \le ||X|| ||Y||$
$C^{n \times n}$上常见范数(矩阵范数)：$A=(a_{ij})_{n \times n}$：
(1)$\varphi(A)=||A||_1=max{L_1,...,L_n}$叫列范数，其中$L_i$是第i列的绝对值之和
(2)$\varphi(A)=||A||_{\infty }=max{L_1,...,L_n}$叫行范数，其中$L_i$是第i行的绝对值之和
(3)$\varphi (A) = ||A|{|_F} = \sqrt {\sum {{{\left\| {{a_{ij}}} \right\|}^2}} } $，叫做F范数
(4)$\varphi (A) = ||A|{|_M} = \sum {\left| {{a_{ij}}} \right|} $
(5)$\varphi(A)=||A||_G=n max{|a_ij|}$
(6)$\varphi(A)=||A||_2$=最大奇异值
方阵范数等价定理： $C^{n \times n}$上任两种范数$||X||_a, ||X||_b$适合：
\[{k_1} \le \frac{{||X|{|_a}}}{{||X|{|_b}}} \le {k_2}\]
$k_1 < k_2$都是固定整数，称$||X||_a$和$||X||_b$等价，记为$||X||_a \approx ||X||_b$
谱半径：$\rho (A) = \max \{ \left| {{\lambda _1}} \right|,...,\left| {{\lambda _n}} \right|\} A=A_{n \times n} $
性质：
(1)$\rho (A) \ge 0$
(2)$\rho (kA) = \left| k \right|\rho (A)$
(3)$\rho ({A^p}) = \rho {(A)^p}$
谱范不等式：$\rho (A) \le ||A||$ ，$|| \cdot ||$为任意方阵范数。
证明：
\[\rho (A) = |{\lambda _1}|\]
\[AX = {\lambda _1}X\]
令$B=[X X ... X]$：
\[AB = A\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{X_1}}&{{X_2}}&{...}&{{X_n}}
\end{array}} \right] = \left[ {A\begin{array}{*{20}{c}}
{{X_1}}&{A{X_2}}&{...}&{A{X_n}}
\end{array}} \right] = {\lambda _1}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{X_1}}&{{X_2}}&{...}&{{X_n}}
\end{array}} \right] = {\lambda _1}B\]
\[{\rm{||}}{\lambda _1}B{\rm{|| = = |}}{\lambda _1}|||B|| = {\rm{||}}AB{\rm{||}} \le ||A||||B||\]
\[{\rm{||}}{\lambda _1}B{\rm{|| = |}}{\lambda _1}|||B|| \le ||A||||B|| \Rightarrow {\rm{|}}{\lambda _1}{\rm{|}} \le ||A|| \Rightarrow \rho (A) \le ||A||\]
算子范数：已知$||X|||_v$为$C^n$上的一个向量范数，给定$A=A_{n \times n}$，$||AX||_v$在$C^n$上连续，令
\[\varphi (A) = \max \{ ||AX|{|_v}\} (||X|| = 1)\]
引理：$||Y||$为任意$C^n$上向量，有${\left\| {AY} \right\|_v} \le \varphi (A){\left\| Y \right\|_v}$
\[{\left\| {A\frac{Y}{{\left\| Y \right\|}}} \right\|_v} = \frac{{{{\left\| {AY} \right\|}_v}}}{{{{\left\| Y \right\|}_v}}} \le \max \{ {\left\| {AX} \right\|_v}\} (\left\| X \right\| = 1) = \varphi (A) \Rightarrow {\left\| {AY} \right\|_v} \le \varphi (A){\left\| Y \right\|_v}\]
可以证明，算法范数满足方阵范式性质：
(1)正性：$\varphi (A) > 0$，$\varphi (A) = 0 \Leftrightarrow A=0$
(2)奇性：$\varphi (kA)=|k| \varphi (A)$
(3)三角性质：$\varphi (A+B) \le \varphi (A) + \varphi (B)$
(4)次乘性：$\varphi (AB)= \varphi (A) \varphi (B)$
常见算子范数：
(1)$||X||_1$导出$\varphi (A)=max\{||AX||_{1}\}(||X||_1=1)=||A||_1$
(2)$||X||_{\infty}$导出$\varphi (A)=max\{||AX||_{\infty}\}(||X||_{\infty}=1)=||A||_{\infty}$
(3)$||X||_2$导出$\varphi (A)=max\{||AX||_{2}\}(||X||_2=1)=||A||_2$
定理1：任意算子范式$\left\| \cdot \right\|$，必有$\left\| {{I_n}} \right\|=1$：
定理2：方阵范数$\left\| \cdot \right\|$，必有$\left\| {{I_n}} \right\| \ge 1$：
推论：$\left\| {{I_n}} \right\| > 1 \Rightarrow \left\| \cdot \right\|$不是算子范数。
引理：若$\left\| \cdot \right\|$为$C^{n \times n }上的方阵范数$，P为可逆阵，令$\varphi (A)=||P^{-1}AP||$，则$\varphi (A)$为$C^{n \times n}$上一个新范数。
小范数定理：固定一个方阵A与小正数$\varepsilon $，则存在一个方阵范数${\left\| \cdot \right\|_\varepsilon }$，使得
\[{\left\| A \right\|_\varepsilon } \le \rho (A) + \varepsilon \]
推论：若$\rho (A) < 1$，则存在小范数${\left\| \cdot \right\|_\varepsilon }$，使得：
\[{\left\| A \right\|_\varepsilon } < 1\]
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原文地址：https://www.cnblogs.com/codeDog123/p/10225313.html
