【习题整理】计算几何基础

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• bzoj1074【Scoi2007】折纸
  • 思路：考虑倒着做，每次将在折叠的直线右边的扔掉，左边的点再对称一次加入；
  • 算几知识：求向量关于法向量的对称向量
  • 点$A$关于点$B$对称的点$C = 2B - A$
  • 如果要求$\vec{A}$关于法向量$\vec{l}$的对称向量$\vec{A‘}$；
  • 可以考虑都平移到原点
  • 利用点积求出$\vec{A}$在$\vec{l}$上的投影点$D$， 再将点$A$关于$D$对称到$A‘$；
  • $A‘$的坐标就是向量$\vec{A‘}$
  • 

     1 #include<bits/stdc++.h>
     2 #define db double
     3 #define eps 1e-6
     4 using namespace std;
     5 const int N=1<<9;
     6 int n,m,cnt,tmp;
     7 int dcmp(db x){return fabs(x)<=eps?0:x<0?-1:1;}
     8 struct point{
     9     db x,y;
    10     point(db _x=0,db _y=0):x(_x),y(_y){};
    11     point operator +(const point&A)const{return point(x+A.x,y+A.y);}
    12     point operator -(const point&A)const{return point(x-A.x,y-A.y);}
    13     point operator *(const db&a)const{return point(x*a,y*a);}
    14     db operator *(const point&A)const{return x*A.x+y*A.y;}
    15     db operator ^(const point&A)const{return x*A.y-y*A.x;}
    16 }p1[N],p2[N],q[N],qq[N];
    17 bool onleft(point A,point B,point C){
    18     return dcmp((C-B)^(A-B))>0;
    19 }
    20 point rev(point A,point B,point C){
    21     point D = C - B; 
    22     db l2 = D*D;
    23     D = B + D*((A-B)*D/l2);
    24     return D*2 - A;
    25 }
    26 int main(){
    27     #ifndef ONLINE_JUDGE
    28     freopen("bzoj1074.in","r",stdin);
    29     freopen("bzoj1074.out","w",stdout);
    30     #endif 
    31     scanf("%d", &n);
    32     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf%lf%lf", &p1[i].x, &p1[i].y, &p2[i].x, &p2[i].y);
    33     scanf("%d", &m);
    34     for(int i=1;i<=m;i++){
    35         cnt=1;scanf("%lf%lf", &q[1].x, &q[1].y);
    36         for(int j=n;j;j--){
    37             tmp=0;
    38             for(int k=1;k<=cnt;k++)if(onleft(q[k],p1[j],p2[j])){
    39                 qq[++tmp] = q[k];
    40                 qq[++tmp] = rev(q[k],p1[j],p2[j]);
    41             }
    42             cnt=tmp;
    43             if(!cnt)break;
    44             for(int k=1;k<=cnt;k++)q[k]=qq[k];
    45         }
    46         int ans=0;
    47 //        puts("");
    48         for(int j=1;j<=cnt;j++){
    49 //            printf("%.2f %.2lf\n",q[j].x, q[j].y);
    50             if(dcmp(q[j].x)>0&&dcmp(q[j].y)>0&&dcmp(100-q[j].x)>0&&dcmp(100-q[j].y)>0){
    51                 ans ++;
    52             }
    53         }
    54         printf("%d\n",ans);
    55     }
    56     return 0;
    57 }

    bzoj1074
• bzoj1094【Zjoi207】粒子运动
  • 思路：每个例子的路径是$k$段折线，枚举每队粒子和时间段计算最近距离；
  • 算几知识：
  • 1.求变化有的轨迹直接求出和圆的交点做出法向量求对称，对称的方法同上；
  • 2.求圆和向量的交点（保证有交）：
  • 假设向量的起点$A$,方向$\vec{B}$，圆C的圆心为$O$，半径为$R$
  • 所以$( (A-O) + t \vec{B} )^2 = R^2$
  • 展开解即可
  • 

     1 #include<bits/stdc++.h>
     2 #define db double 
     3 #define il inline 
     4 using namespace std;
     5 const int N=110;
     6 int n,k;
     7 db R,t[N][N];
     8 struct point{
     9     db x,y;
    10     point(db _x=0,db _y=0):x(_x),y(_y){};
    11     point operator +(const point&A)const{return point(x+A.x,y+A.y);}
    12     point operator -(const point&A)const{return point(x-A.x,y-A.y);}
    13     point operator *(const db&a)const{return point(x*a,y*a);}
    14     db operator *(const point&A)const{return x*A.x+y*A.y;}
    15     db operator ^(const point&A)const{return x*A.y-y*A.x;}
    16 }O,p[N][N],v[N][N];
    17 il db cal(db a,db b,db c){return ( -b + sqrt(b*b-4*a*c) ) / a / 2; }
    18 il db len(point A){return sqrt(A*A);}
    19 il db solve(int i,int j,int k1,int k2,db tl,db tr){
    20     point v1 = v[i][k1], v2 = v[j][k2]; 
    21     point p1 = p[i][k1] + v1 * (tl - t[i][k1]);
    22     point p2 = p[j][k2] + v2 * (tl - t[j][k2]);
    23     point tv = v1-v2, tp = p1-p2; tr-=tl;
    24     db a=tv*tv,b=tv*tp*2,d=-b/a/2;
    25     if(fabs(a)<1e-9)return b > 0 ? len(tv*tr+tp) : len(tv*tl+tp);
    26     else {
    27         d = max(0.0, min(tr, d));
    28         return len(tv*d+tp);
    29     }
    30 }
    31 int main(){
    32     #ifndef ONLINE_JUDGE
    33     freopen("bzoj1094.in", "r", stdin);
    34     freopen("bzoj1094.out","w",stdout);
    35     #endif 
    36     scanf("%lf%lf%lf",&O.x,&O.y,&R);
    37     scanf("%d%d",&n,&k);
    38     for(int i=1;i<=n;i++){
    39         scanf("%lf%lf%lf%lf",&p[i][0].x,&p[i][0].y,&v[i][0].x,&v[i][0].y);
    40         for(int j=1;j<=k+1;j++){
    41             point tp = p[i][j-1] - O, tv = v[i][j-1]; 
    42             db tx = cal(tv*tv, tp*tv*2, tp*tp-R*R);
    43             t[i][j] = t[i][j-1] + tx;
    44             p[i][j] = p[i][j-1] + tv*tx;
    45             point l = O - p[i][j]; swap(l.x,l.y),l.x=-l.x;
    46             v[i][j] = l * ((tv*l)/(l*l)) * 2 - tv;
    47         }
    48     }
    49     db ans = 1e18;
    50     for(int i=1;i<=n;i++)
    51     for(int j=1;j<=n;j++)if(i!=j){
    52         int k1=0,k2=0;
    53         while(k1<=k&&k2<=k){
    54             ans = min(ans, solve(i, j, k1, k2, max(t[i][k1],t[j][k2]), min(t[i][k1+1],t[j][k2+1])));
    55             if(t[i][k1+1]<t[j][k2+1])k1++;else k2++;
    56         }
    57     }
    58     printf("%.3lf\n",ans);
    59     return 0;
    60 }

    bzoj1094
• bzoj1043【Hnoi2008】下落的圆盘
• 思路：枚举每个圆盘后面落下的圆盘，求相交的弧度区域并之后统计没有被覆盖的部分；
• 算几知识：
  
• 极角：
  
• 利用$atan2(y,x)$可以求得一个点的极角(弧度)；
• 极角范围$(-\pi,\pi]$，大小逆时针(-x轴，-x轴]不断增大；
• x轴上半部分$+x$轴到$-x$轴不断增大，下半$-x$轴到$+x$轴不断增大；
• 特别注意的是：$+x$轴为$0$，$-x$为$\pi$，$x$轴上方为正，下方为负，；
• 如果一个区间跨越了-x轴，那么需要分成两个区间处理；

• 求两圆交点及相交的极角弧度范围：
  
• 设小圆$O_{1}$半径$r_{1}$，大圆$O_{2}$半径$r_{2}$，圆心距$|O1O2| = d$，两个交点分别为$P_{1}$,$P_{2}$;
• 首先判断位置关系：$d > r_{1} + r_{2}$相离，$d < r_{2} - r_{1}$包含，都没有交点;
• （不考虑相切）然后：
  
• 在$\triangle O1O2P1$中用余弦定理算出$angle P_{1}O_{1}O_{2}$，利用$\vec{O_{1}O_{2}}$旋转调整可得$\vec{O_{1}P_{1}} ,    \vec{O_{1}P_{2}}$ ，可以算出$O_{1}O_{2}$
• 

   1 #include<bits/stdc++.h>
   2 #define db double 
   3 #define eps 1e-9 
   4 using namespace std;
   5 const int N=1010;
   6 const db pi = acos(-1);
   7 int n,tot1[N],tot2[N],vis[N];
   8 db sub2[N][N<<2],cnt[N<<2];
   9 struct point{
  10     db x,y; 
  11     point(db _x=0,db _y=0):x(_x),y(_y){}; 
  12     point operator +(const point&A)const{return point(x+A.x,y+A.y);}
  13     point operator -(const point&A)const{return point(x-A.x,y-A.y);}
  14     db operator *(const point&A)const{return x*A.x+y*A.y;}
  15     db operator ^(const point&A)const{return x*A.y-y*A.x;}
  16     point operator *(const db&a)const{return point(x*a,y*a);}
  17 }sub1[N][N<<2];
  18 struct circle{point o;db r;}c[N];
  19 int dcmp(db x){return fabs(x)<eps?0:x<0?-1:1;}
  20 db len(point A){return sqrt(A*A);}
  21 point rotate(point A,db cos,db sin){return point(A.x*cos-A.y*sin, A.y*cos+A.x*sin);}
  22 void ins(int i,point p1,point p2){
  23     db l = atan2(p1.y,p1.x), r = atan2(p2.y,p2.x);
  24     sub2[i][++tot2[i]] = l;
  25     sub2[i][++tot2[i]] = r;
  26     if(dcmp(l-r)>0){
  27         sub1[i][++tot1[i]]=point(-pi,r);
  28         sub1[i][++tot1[i]]=point(l,pi);
  29     }else sub1[i][++tot1[i]]=point(l,r);
  30 } 
  31 void solve(int i,int j){
  32     if(dcmp(c[i].r-c[j].r)>0)swap(i,j);
  33     point td = c[j].o - c[i].o,p0,p1,p2;
  34     db d = len(td), r1=c[i].r, r2=c[j].r;
  35     if(dcmp(d-r1-r2)>=0)return ;
  36     if(dcmp(d-r2+r1)<=0){if(i<j)vis[i]=1;return ;}
  37     db Cos = (td*td + r1*r1 - r2*r2) /d /r1 /2  ;
  38     db Sin = sqrt(1-Cos*Cos);
  39     p0 = td * (r1/d);
  40     p1 = c[i].o + rotate(p0,Cos,-Sin);//
  41     p2 = c[i].o + rotate(p0,Cos,Sin);
  42     if(i<j)ins(i,p1-c[i].o, p2-c[i].o);
  43     else ins(j,p2-c[j].o, p1-c[j].o);
  44 }
  45 int main(){
  46     freopen("bzoj1043.in","r",stdin);
  47     freopen("bzoj1043.out","w",stdout);
  48     scanf("%d",&n);
  49     for(int i=1;i<=n;i++){
  50         scanf("%lf%lf%lf",&c[i].r,&c[i].o.x,&c[i].o.y);
  51         for(int j=i-1;j;j--)solve(j,i);
  52     } 
  53     db ans = 0;
  54     for(int i=1;i<=n;i++){
  55         if(vis[i])continue;
  56         sub2[i][++tot2[i]]=-pi;
  57         sub2[i][++tot2[i]]=pi;
  58         sort(sub2[i]+1,sub2[i]+tot2[i]+1);
  59         for(int j=1;j<=tot2[i];j++)cnt[j]=0; 
  60         for(int j=1;j<=tot1[i];j++){
  61             int p1 = lower_bound(sub2[i]+1,sub2[i]+tot2[i]+1,sub1[i][j].x) - sub2[i];    
  62             int p2 = lower_bound(sub2[i]+1,sub2[i]+tot2[i]+1,sub1[i][j].y) - sub2[i];
  63             cnt[p1]--,cnt[p2]++;
  64         }
  65         db all = 0;
  66         for(int j=1;j<tot2[i];j++){
  67             cnt[j]+=cnt[j-1];
  68             if(!cnt[j])all += sub2[i][j+1]-sub2[i][j];
  69         } 
  70         ans += all * c[i].r;
  71     }
  72     printf("%.3lf\n", ans);
  73 }

  bzoj1043

   

【习题整理】计算几何基础

标签：src   计算几何   tmp   event   lap   坐标   include   continue   方法   

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