SP34096 DIVCNTK - Counting Divisors (general) min_25筛

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\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\)

\(σ_0(i)\) 表示\(i\) 的约数个数

求\(S_k(n)=\sum_{i=1}^n\sigma_0(i^k)\mod 2^{64}\)

\(\color{#0066ff}{输入格式}\)

第一行一个T为数据组数

接下来每组数据一个n，一个k

\(\color{#0066ff}{输出格式}\)

每个询问输出一行

\(\color{#0066ff}{输入样例}\)

5
1 3
2 3
3 3
10 3
100 3

\(\color{#0066ff}{输出样例}\)

1
5
9
73
2302

\(\color{#0066ff}{数据范围与提示}\)

\(T\leq 10^4,n,k\leq10^{10}\)

\(\color{#0066ff}{ 题解 }\)

设p为质数

则min_25筛的使用条件就是

1、\(f(p)\)为多项式。2、\(f(p^k)\)容易求出。3、\(f\)积性函数

因为\(f(p)\)是多项式而且是积性函数

我们考虑把\(f(p)\)拆项，这样拆出来的就是完全积性函数

比如\(\varphi(p)=p-1,\varphi_1(p)=p,\varphi_2(p)=1\)

本题\(\sigma(p)=2\)，一个常数qwq

设拆项后\(f(p)=p^k\)

我们设\(\begin{aligned}g(q,b)=\sum_{i = 1}^q [i是质数\or i的最小质因子>p_b]i^k\end{aligned}\)

简单来说，\(g(q,b)\)就是经过b轮埃氏筛法剩下的所有\(\in [2,q]\)的数的k次幂的和

如何求g呢？ 考虑递推\(g(?,b-1)\to g(?,b)\)

\(g(q,b)=\left\{\begin{aligned}g(q,b-1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ q<p_b^2 \\ g(q,b-1)-p_b^k*(g(\lfloor \frac q {p_b} \rfloor , b-1)-g(p_{b-1},b-1)) \ \ \ \ \ \ q\ge p_b^2\end{aligned}\right.\)

若\(q<p_b^2\)，所有q以内的合数都已经被筛掉，不会影响

否则，考虑本轮筛掉了哪些数

每个\(\leq \lfloor\frac q {p_b}\rfloor\)的且不含有\(\leq p_b\)的质因子的数的\(p_b\)倍都会在本轮筛掉

因为\(g(\lfloor \frac q {p_b} \rfloor , b-1)\)还包含了多余的质数，于是我们用其减去\(g(p_{b-1},b-1))\)就行了

不难发现，g数组可以滚动，而且根据递推式，第二维完全可以不要

初始g(a,0)=a-1（不算1）

因为我们的操作都跟质数有关，打表可以发现，数列分块的r有一些规律

当\(g[r_i]\ne g[r_{i-1}]\)时，说明\(r_i\)是质数

显然这样数组是开不下的，我们让g用r的数组下标，这样空间复杂度就是\(\sqrt n\)

设\(|p|\)素数集合大小，\(\begin{aligned}S(a,b)=\sum_{i=2}^a [i的最小质因子\ge p_b]f(i)\end{aligned}\)

设\(S(a,b)=\left\{\begin{aligned}0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\leq p_b \\ g(a,|p|)-g(p_{b-1},|p|)+\sum_{i=b}^{|p|}\sum_{p_i^{t+1}\leq a}(S(\frac a {p_i^t} ,i+1)*f(p_i^t)+f(p_i^{t+ 1})) \ \ \ \ \ \ q\ge p_b^2\end{aligned}\right.\)

递归求解即可

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
LL in() {
    char ch; LL x = 0, f = 1;
    while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
    for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));
    return x * f;
}
const int maxn = 3e6 + 10;
LL n, k, sqt;
LL a[maxn], g[maxn];
int m, tot, pri[maxn];
int getid(LL x) { return x <= sqt? x : m - n / x + 1; }
unsigned LL getans(LL a, int b) {
    if(a < pri[b]) return 0;
    unsigned LL ans = (k + 1) * (g[getid(a)] - g[getid(pri[b - 1])]);
    for(int i = b; i <= tot && (LL)pri[i] * pri[i] <= a; i++)
        for(LL x = pri[i], f = k + 1; x * pri[i] <= a; x *= pri[i], f += k)
        ans += (getans(a / x, i + 1) * f + f + k);
    return ans;
}
int main() {
    for(int T = in(); T --> 0;) {
        n = in(), k = in();
        sqt = sqrt(n);
        tot = m = 0;
        for(LL i = 1; i <= n; i = a[m] + 1)
            a[++m] = n / (n / i), g[m] = a[m] - 1;
        for(int i = 2; i <= sqt; i++) 
            if(g[i] != g[i - 1]) {
                pri[++tot] = i;
                LL s = (LL)i * i;
                for(int j = m; a[j] >= s; j--)
                    g[j] -= g[getid(a[j] / i)] - g[i - 1];
            }
        printf("%llu\n", getans(n, 1) + 1);
    }
    return 0;
}

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