标签：最大费用最大流 表数 ... 独立 建立 解析 方格取数 最长递增子序列 组成
今天早上终于把一直卡着的那道整完了，心情舒畅。但是马上就发现还有好些东西没学。写了一上午splay和treap博客的草稿了，趁热写下网络流的博客好了，就当换个脑子。
为什么是23呢？因为机器人路径规划问题我不会啊嘿嘿。
Pt.1 建立的体系
笑
Pt.2 关键词统计
好像没什么用，但是这些东西还是和网络流有点联系的好
最多 最大 最长 最小 最少（短）
数量 收益 长度 总和 花费 路线 耗时
方案
数据范围 10 20 100 500
Pt.3 模型
1) 二分图
对应问题：最大匹配，最小点覆盖，最小边覆盖，最大独立集，最大权独立集
①：最大匹配（及多重匹配）的最大流模型
对第一个集合中的元素向源点连边，容量为1
对第二个集合中的元素向汇点连边，容量为1
对于两个集合中相连的点连边(S1->S2)，容量为1
求最大流。正确性如下
此外，使用dinic，EK算法还可以利用残量网络的特点求出具体哪些边是匹配边和其端点，解决了输出方案的问题
1.飞行员配对方案问题
本题是一个非常明显的二分图模型，求最大匹配并且输出方案。
输出方案时，判断残量网络中所有正向边流量为0或判断反向边流量为1表明在最终方案中这条边是匹配边。
5.圆桌问题
【多重匹配】
从源点向国家连容量为国家代表数的边，国家和桌子间连容量为1的边，桌子到汇点连容量为桌子人数的边。求最大流。
7.试题库问题
同上
18.分配问题【费用流出现了QAQ】
不考虑效率人和工作的关系是一张二分图，并且题目保证存在一个完美匹配（所有的活都有人干）。加上效率，求的就是所有活都有人做的时候（最大流哇）最大的效率，即最大费用最大流。
②：最小点覆盖的最大流模型
最小点覆盖是一个覆盖了所有的边的点集
最小点覆盖=最大匹配数
证明：反证法，用上面那张图。
匹配边的端点至少有一个端点连接非匹配边。
如果存在一条非匹配边边不被匹配边的端点覆盖，这条边就是匹配边，因为其端点还为被匹配。
所以匹配边的端点集是一个点覆盖集(匹配数*2)，同时两条匹配边的端点如果是一条非匹配边的端点，那么只需要其中一个端点就能覆盖。所以所有匹配边的的一个端点组成最小点覆盖集，大小为匹配数（最大匹配数）。
诶，24题中好像没有这类题，下一个下一个。
③：最大独立集/最大权独立集
独立集是一个点集，所有的点都不相连。
最大独立集=点数-最小点覆盖=点数-最大匹配数
最大权独立集=点权和-最小割容量=点权和-最大流（这个暂时我没有想出来证明，胡伯涛前辈的论文中有详细介绍）
24.骑士共存问题
自习读题后发现棋盘上的黑白格不能共存，他们是否满足二分图的性质呢？答案是肯定的。那么我们要求的就是互不相邻的最大骑士个数，即最大独立集。
9.方格取数问题
发现了么，二分图的模型。还是黑白格，但是有了权值，求最小割（最大流），利用上面的结论。
2) 标准的费用流模型
值得注意的是，EK+spfa/EK+dijkstra中的费用是单位费用，切勿在建模时和边权混淆。
10.餐巾计划问题
模型很明显，为了区分用过的餐巾和干净餐巾，我们把每一天拆开，入点<x,i>接受干净餐巾，出点<y,i>接受<x,i>和其他来源的用过的餐巾。再额外建立快慢洗店。求最小费用最大流。
17.运输问题
模型非常明显，不多言。
19.负载平衡问题
环？没法贪心呀。如果知道这题网络流可做，模型非常容易建立（问题是考试时候我怎么知道）。
20.深海机器人问题 & 23.火星探险问题
按照题目要求建好图，跑就行了，嘿嘿嘿。
3) 隐藏的模型（好题好题）
【最大流】
6.最长递增子序列问题
3个子任务，Task1没啥问题，Task2怎么做呢？
Task1在DP完了之后，数组f中存在一些重要信息，这些信息中存在f的转移关系。F[i]=maxlen从f[j]=maxlen-1转移来，f[j]=maxlen-2从f[k]=maxlen-3转移来...f[x]=1。如果我们把这个关系拎出来，就找到了一个最长上升子序列，如果可以拎出来更多组关系，就找到了其他的子序列。从f[i]=1传递到f[j]=maxlen，这些关系恰构成一个网络，其中的最大不相交路径条数就是子序列个数，其最大流就是子序列个数。
11.航空路线问题
题意求最大环。So？真的是网络流吗？起点到终点存在一条路径时就有解。设立源点连到起点，汇点到终点，容量均为2。城市间连边，容量为1。跑最大费用最大流。流量为0无解，1有去无回，除法起点知道直连，2输出方案。
16.数字梯形问题
诶？这个图有点像上面最长递增子序列问题？没错，又是一道不相交路径，不过有了权值。
21.最长k可重区间集问题 & 22.最长k可重线段集问题
终于到了24题中非常喜欢的几道了！
这道题怎么读，和网络流有个啥关系？？？我2^n枚举集合？解析几何？
操作了一波发现没什么好方法啊？网络流！
这个k，好k哇。想想最后那个k可重集的组成，一定是不超过k个不重集构成，nice！有点头绪了，不重集...不重集...不相交...不相交路径？？？喔，有点东西了。
区间集是这样吧
我们把不相加的连起来，诶！
跑最大流即可。
线段集的坑点：垂直！
4) DAG的最小路径覆盖 & 2道妙题
最小路径覆盖=点数-最大匹配数
这个东西，呃怎么证啊...
3.最小路径覆盖问题
题如其名，最大流，结论求解。
4.魔术球问题
非常棒的一道题。有一种非常厉害的贪心解法，可惜我想不到。
其次这道题连个图都没有！我们再动手。...好像不太好画啊。
我们发现，每增加1个球结果可能会改变上一次的球的结构，增加新的柱子。除非我们知道答案，否则是无法决定下一步加什么球的。数字和数字间连边，数字和柱子间连边，每根柱子上的球不能重复，有感觉了吗？n根柱子不是n条不相交路径吗？反过来问你最大点数。所以先确定枚举点数，确定点数后，再跑最大流求最小路径覆盖，和n比较，直到最大流超过n，此时得到了答案。
2.太空飞行计划问题
再次推荐胡伯涛前辈的论文，该题模型为最大权闭合子图，求最小割，答案为总和-最小割容量。
13.星际转移问题
卡我最久的一道，首先这个图怎么建我想了快一周！最后还是看的题解。
因为每一天飞船的位置都在变化，边是变化着的，运用一个分层图的思想可以让事情变得明了：
枚举天数，每增加一天就增加一层图，看看最大流有没有超过人数，超过了就输出天数。
5) 披着狼皮的羊
以下几道题网络流都不是最优解法（虽然以上也有些是）
其名曰：分层图最短路。
当我们发现地图不停变化时，不妨按照某个状态划分出若干个地图，在其中解决问题，这个时候费用流和最短路相比就显得相形见绌了。（推荐肖天前辈2004的论文）
12.软件补丁问题
14.孤岛营救问题
15.汽车加油行驶问题
这三道题数据范围都较小，对于12.中的软件修复状态，14.中的钥匙状态，15.中的行驶里程都可以用二进制数存储，然后在n^2*（1<<k）的图中求最短路。
最后感谢byvoid前辈的题解及数据，洛谷的部分题解，和几位前辈的论文。
若发现本博客有何错误或不妥，请指出。
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