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麻省理工公开课:线性代数 第8课 求解Ax=b:可解性和解的结构

时间:2019-01-23 17:20:26      阅读:198      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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参考资料:

网易公开课:http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html  麻省理工公开课:线性代数

教材:Introduction to Linear Algebra, 4th edition  by Gilbert Strang

链接:https://pan.baidu.com/s/1bvC85jbtOVdVdw8gYMpPZg
提取码:s9bl

假设:$A$为$3\times 4$长方形矩阵(线性相关),求解$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$

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一、增广矩阵消元 augmented matrix

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(1)$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$有解条件  //两种等价描述方式

  • 当且仅当$\mathbf{b}$位于矩阵$A$的列空间$C(A)$内
  • 如果矩阵$A$的行线性组合在消元过程中得到全零行,$\mathbf{b}$的相同组合也必须为0,本例中$b_3-b_2-b_1$必须为零

二、求解$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$的所有解

(1)求解$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$的特解$\mathbf{x}_{particular}$:令所有的自由变量为零,求解所有主变量的值

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(2)求解$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$对应的零空间解$\mathbf{x}_{nullsapce}$

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(3)$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$的完整解为:$\mathbf{x}_{complete}=\mathbf{x}_{particular}+\mathbf{x}_{nullsapce}$,本例为经过$\mathbf{x}_{particular}$的某二维平面(不包含原点,不是子空间)

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注:$A\mathbf{x}_p=\mathbf{b},A\mathbf{x}_n=\mathbf{0} \Rightarrow A(\mathbf{x}_p+\mathbf{x}_n)=\mathbf{b}$

三、假设矩阵$A$为$m\times n$矩阵,秩为$r$

(1)秩的定义:主元的个数  //$r\leq m, r\leq n$

(2)列满秩:$r=n<m$  //各列线性无关

  • 主元个数为$n$,无自由变量,零空间$N(A)$仅包含零向量
  • 若$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$有解,则仅有唯一解$\mathbf{x}_{particular}$  //$\mathbf{x}_{particular}$要么无解,要么有唯一解

  注:$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$有0或1个解

(3)行满秩:$r=m<n$  //各行线性无关

  • 主元个数为$m$,自由变量个数为$n-m$
  • 对于任意$\mathbf{b}$,$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$都有解  //因为每行均存在主元,则消元过程中对$\mathbf{b}$无任何限制,一定有解

  注:$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$有无穷个解

(4)满秩方阵:$r=m=n$

  • 矩阵可逆,零空间只有零向量
  • 行最简矩阵$R=I$
  • $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$一定有唯一解$\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$

  注:$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$有唯一解

(5)非满秩矩阵:$r<m, r<n$

  注:$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$有0或无穷个解

注:矩阵的秩决定了方程组解的个数

 

麻省理工公开课:线性代数 第8课 求解Ax=b:可解性和解的结构

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原文地址:https://www.cnblogs.com/hg-love-dfc/p/10309526.html

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