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复习交换代数——准素分解的应用和几何意义

时间:2019-01-24 22:56:28      阅读:310      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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上承这篇博文,下面我们来介绍一些准素分解的应用和几何意义。

1、Krull交定理

一个著名的应用就是Krull交定理。

Krull交定理 对于Noether环$R$,理想$\mathfrak{a}$,令$\mathfrak{a}^{\infty}=\bigcap_{n\geq 0}\mathfrak{a}^n$,那么$$\mathfrak{a}\mathfrak{a}^{\infty}=\mathfrak{a}^{\infty}$$作为推论存在$x\in \mathfrak{a}$使得$(1+x)\mathfrak{a}^{\infty}=0$。

证明 首先,显然有$\mathfrak{a}\mathfrak{a}^{\infty}\subseteq \mathfrak{a}^{\infty}$。为了看到反面,考虑$\mathfrak{a}\mathfrak{a}^{\infty}$的准素分解$\mathfrak{a}\mathfrak{a}^{\infty}=\bigcap \mathfrak{q}_i$,其中$\mathfrak{q}_i$是$\mathfrak{p}_i$-准素的,我们要证明$\mathfrak{a}^{\infty}\subseteq \mathfrak{q}_i$。

  • 当$\mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{p}_i$时,那么因为$\mathfrak{p}_i=\sqrt{\mathfrak{q}_i}$以及Noether性$\mathfrak{a}^n\subseteq \mathfrak{p}_i^n\subseteq \mathfrak{q}_i$,这样$\mathfrak{a}^\infty \subseteq \mathfrak{q}_i$。
  • 当$\mathfrak{a}\setminus \mathfrak{p}_i\neq \varnothing$时,任取其中元素$x$,那么$x \mathfrak{a}^\infty \subseteq \mathfrak{a}\mathfrak{a}^\infty \subseteq \mathfrak{q}_i$,此时$x\notin \mathfrak{p}_i$,根据准素理想的刻画,$\mathfrak{a}^{\infty}\subseteq \mathfrak{q}_i$。

关于后者则是自然推论,因为可以选取$\mathfrak{a}^{\infty}$的有限的生成元得到一个$\mathfrak{a}$组成矩阵$A$在其上作用如同单位阵,从而$\det(A-I)\in 1+\mathfrak{a}$在$\mathfrak{a}$上的作用为$0$。$\square$

推论 对于Noether环$R$,$\mathfrak{r}=\operatorname{rad} R$是Jacobson根基(即素理想的交),那么$\bigcap_{n\geq 0}\mathfrak{m}^n=0$。$\square$

一个最为显著的应用就是证明光滑函数环不是Noether环,例如取$\mathbb{R}$上$0$的光滑函数芽$\mathscr{C}_0^\infty$,那么唯一的极大理想正是那些在$0$处取$0$的函数,而极大理想的$n$次方是知道$n-1$阶导数在$0$都取$0$的函数,那么他们的交是各阶导数在$0$都取$0$的函数,这样的非零函数很多。

Krull交还有一个基于Hilbert基的证明,可见Milne的讲义 Theorem 1.8。

2、离散赋值环

离散赋值环是一类非常简单的环。

定义 如果在域$K$上有一个赋值$\nu: K\to \mathbb{Z}_{\geq 0}\cup \{\infty\}$满足

  • $\nu(0)=\infty$
  • $\nu(xy)=\nu(x)+\nu(y)$
  • $\nu(x+y)\geq \min(\nu(x), \nu(y))$

其中关于$\infty$的运算约定俗成。称$\nu$为$K$的一个离散赋值

定义 一个整环$R$被称为离散赋值环,如果其分式域$K=\operatorname{Frac} R$上存在赋值$\nu$使得$R=\{x\in K: \nu(x)\geq 0\}$。

容易验证, $\nu(-1)=0$,$\nu(x)=\nu(-x)$,以及$$\nu(x)\neq \nu(y)\Rightarrow \nu(x+y)= \min(\nu(x), \nu(y))$$这被俗称为『木桶原理』。容易根据定义验证,

  • $\mathfrak{m}=\{x\in K: \nu(x)> 0\}$是$A$的极大理想。
  • $A\setminus\mathfrak{m}=\{x\in K: \nu(x)=0\}$是$A$的单位。
  • 以上两点说明$A$的极大理想$\mathfrak{m}$是主理想,因为只需要取$\nu(x)=1$的任何一个元素。
  • 以上两点说明任何理想都是主理想且都形如$\mathfrak{m}^n$,因为一个理想由$\nu$在其上的取值决定。

下面有离散赋值环的一个简单判据。

定理 令$R$是一个局部整环,极大理想为$\mathfrak{m}$,假设$\mathfrak{m}$是非零主理想,且$\bigcap \mathfrak{m}^n=0$,那么$R$是离散赋值环。

证明 假设$\mathfrak{m}=\left<t\right>$。根据条件,任何$x\in R\setminus 0$都落在某个$\mathfrak{m}^n\setminus \mathfrak{m}^{n-1}$里,这表明$x=ut^n$,其中$u$是单位。这个$n$就定为$x$的赋值$\nu(x)$,再规定$\nu(0)=\infty$,不难证明

  • $\nu(xy)=\nu(x)+\nu(y)$
  • $\nu(x+y)\geq \min(\nu(x), \nu(y))$

 这自然延拓到$K=\operatorname{Frac} R$上。注意到$R$已经是局部环,可逆元当且仅当具有赋值$0$,根据延拓到$K$上的方法容易得到$R=\{x\in K:\nu(x)\geq 0\}$。$\square$

推论 令$R$是一个局部Noether整环,极大理想为$\mathfrak{m}\neq 0$,假设$\mathfrak{m}$是主理想,那么$R$是离散赋值环。

证明 根据Krull交定理的推论。$\square$

定理 令$R$是一个局部Noether整环,极大理想为$\mathfrak{m}\neq 0$,如果$R$是正则且维数为$1$,那么$R$是离散赋值环。(所谓正则即$\dim_{R/\mathfrak{m}}\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2=\dim R$)

证明 任何$R$模$M$,子模$N$,根据中山引理$$M=\mathfrak{m}M+N\iff M=N$$故$$\textrm{$\{m_i\}\subseteq M$生成了$M$}\iff M=\mathfrak{m}M+m_1R+\ldots +m_rR\iff \textrm{$\{m_i\mod \mathfrak{m}M\}\subseteq M/\mathfrak{m}M$生成了$M/\mathfrak{m}M$}$$这说明了$\mathfrak{m}$是主理想。$\square$

定理 令$R$是一个局部Noether整环,极大理想为$\mathfrak{m}\neq 0$,如果$R$是正规且维数为$1$,那么$R$是离散赋值环。(所谓正规即整闭)

证明 任意取非零元$x\in \mathfrak{m}$,考虑主理想$(x)$的准素分解,因为$R$只有两个素理想,而$0$显然不是,这说明$(x)$是准素的,这样根据准素分解定义,存在$y\in R$使得$\{a\in R: ya\in (x) \}=\mathfrak{m}$,此时$\frac{y}{x}\mathfrak{m}\subseteq R$,如果$\frac{y}{x}\mathfrak{m}=\mathfrak{m}$,那么$y/x$整从而$y/x\in R$,这样$\{a\in R: ya\in (x) \}=R$矛盾。所以$\frac{y}{x}\mathfrak{m}=R$,取$w\in \mathfrak{m}$使得$\frac{y}{x}w=1$,这样,$\mathfrak{m}=w\frac{y}{x}\mathfrak{m}=wR$,是主理想,命题得证。$\square$

3、Dedekind整环

熟知Dedekind整环的定义

定义 一个Dedekind整环是Noether、整闭、维数为1的交换环。

同样熟知Dedekind整环理想的唯一分解性。这可以利用准素分解证明。

定理 对于Dedekind整环$R$, 任何理想$\mathfrak{a}$都可以唯一分解为一些素理想的乘积。

证明 利用准素分解,我们已经知道$\mathfrak{a}$是一些准素理想的交$\bigcap \mathfrak{q}_i$,且这是唯一的,因为维数确保所有素理想都是极小的。假设$\mathfrak{p}_i=\sqrt{\mathfrak{q}_i}$是素理想,按照维数,他们都是极大理想。

  • 我们先证明$\mathfrak{q}_i$是两两互素的,这样$\mathfrak{a}=\prod \mathfrak{q}_i$。因为$\mathfrak{p}_i$都是两两互素的,从而$\mathfrak{p}_i^n$两两互素的,因为Noether性,确保$\mathfrak{p}_i$有限生成,从而$\mathfrak{p}_i^n\subseteq \mathfrak{q}_i$,这样$\mathfrak{q}_i$两两互素。
  • 于是问题变成证明$\mathfrak{q}_i=\mathfrak{p}_i^{n_i}$。我们先证明$R_{\mathfrak{p}_i}=R$的情形,此时$R$是离散赋值环,故自动有$\mathfrak{q}_i=\mathfrak{p}_i^{n_i}$。一般情况通过局部化,注意到准素理想在局部化后的原像还是本身。
  • 为了看到唯一性,只需注意到$\prod \mathfrak{p}_i^{n_i}=\bigcap \mathfrak{p}_i^{n_i}$,之后根据准素分解第二唯一性得证和离散赋值环性质。

命题得证. $\square$

直接的证明可以看我写的代数数论里Van der Waerden的证明。

4、Noether整闭环

定理 对于Noother整闭整环$R$,有$$R=\bigcap_{\operatorname{ht}\mathfrak{p}=1}R_{\mathfrak{p}}$$

证明 我们首先证明,任何主理想$aR$,$R/aR$的伴随素理想$\mathfrak{p}$都是高度为$1$的。首先通过局部化,假设$R=R_{\mathfrak{p}}$,假设$b\in R$使得$\{x\in R: xb\in aR\}=\mathfrak{p}$,此时$\frac{b}{a}\mathfrak{p}\subseteq R$,此时不能有$\frac{b}{a}\mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{p}$,否则和整性矛盾。这说明$\frac{b}{a}\mathfrak{p}=R$,这说明$\mathfrak{p}$是主理想,这说明$R_{\mathfrak{p}}$是离散赋值环,从而是$\mathfrak{p}$的高度为$1$。随后,假设$\frac{a}{b}\in \bigcap_{\operatorname{ht}\mathfrak{p}=1}R_{\mathfrak{p}}$,即$b\in aR_{\mathfrak{p}}$,我们要证明$b\in aR$。假设$aR=\bigcap \mathfrak{q}_i$是准素分解,我们要证明$b\in \mathfrak{q}_i$。注意到$aR_{\mathfrak{p}_i}=\mathfrak{q}_iR_{\mathfrak{p}_i}$,于是立刻得到$b\in aR_{\mathfrak{p}_i}\cap R=\mathfrak{q}_i$,命题得证。$\square$ 

5、最后我们指出一些准素分解的几何意义。

首先,古典簇的几何,并不允许我们考虑根理想意外的理想。如果统一求根,Noether分解定理断言,任何Noether整环,根理想都可以唯一写成有限素理想的交。

不过如果我们引入概形,我们知道,$\mathfrak{a}$对应的闭子概形和$\sqrt{\mathfrak{a}}$对应的并不相同,他们之间相差了一些『无穷小』。粗略看,根理想把Taylor展开一次项以外的部分去除了,但是一般的有可能保留一次项,例如$(x,y)$代表点$(0,0)$,一个多项式$f$模去$(x,y)$剩余$f(0)$,而$(x^2,y)$则还代表一个关于$x$的『无穷小邻域』,一个多项式$f$模去$(x^2,y)$剩余$f(0)+\frac{\partial f}{\partial x}(0)x$。这样准素分解几何意义也就明确了,准素分解实际上是一种『带微分』的Noether分解定理。

最后我们指出关于Noether整闭环的几何意义。毫无疑问,因为有离散赋值环这一概念,Noether整闭环$R$上高度为$1$的素理想很好把握,他们和$\operatorname{Frac} R$上的离散赋值是一一对应的。我们将其收集起来,任意一个$f\in R$,都定义了一个赋值,这样可以作出一个商群,这可以类比Dedekind整环类群的概念。更准确地说,我们定义$\operatorname{Div} R$为那些以高度为$1$的素理想$\mathfrak{p}$生成的自由Abel群,每一个$\mathfrak{p}$都对应一个赋值,$\nu_{\mathfrak{p}}$,那么任何一个$f\in R$都定义了一个$\sum_{\mathfrak{p}}\nu_{\mathfrak{p}}(f)$,这根据上面的过程,这是有限和,且赋值都是正的。这样类似复变函数,我们可以谈论一个$f\in \operatorname{Frac} R$在$\mathfrak{p}$的零点重数或极点重数,上述定理说明$f$如果没有极点,那么就落在$R$中,换言之,$R$类比于全纯函数环,$\operatorname{Frac} R$类比亚纯函数域。

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