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/* 今天的基础数论我觉得我还是重新温习一下比较好！ */
时光是个迷，当时初二的我在XX学堂挺这种东西恐怕和各位高一党一个水平吧。
我还是写写吧，希望对大家有点用！
求ap其实可以用分治的思想来求
就是不断的分治，直到p=0，返回1.
递归写法：
const int mo=100000007; int pow(int x,int n) { if (n==0) return 1; if (n==1) return x; int t=pow(x,n/2)%mo; t=t*t%mo; if (n%2) t=t*x%mo; return t; }
非递归写法：
int pow(int x,int n,int p) { int ans=1; while (n) { if (n&1) ans=ans*x%p; x=x*x%p; n>>=1; } return ans%p; }
定理1：唯一分解定理（任何大于2正整数都可以表示成为多个质数相乘的形式，并且分解唯一）
定理2：素数判断定理（当且仅当不存在任意1<k<=（下取整） √x，使得x mod k = 0，那么x为质数）
定理3：整数1，既不是质数又不是合数！
质数的判定：（试除法O（√x）、非完美算法米勒罗宾随机算法）
埃拉托斯特尼筛法求质数O(n log log n)
void EratosthenesSha(int n) { memset(prime,true,sizeof(prime)); vector<int>a;a.clear(); for (int i=2;i<=n;i++) { if (prime[i]==false) continue; a.push_back(i); for (int j=i+i;j<=n;j+=i) prime[j]=false; } }
欧拉线性筛法求质数O(n)
void EouLaSha(int lim) { int cnt=0; pr[0]=pr[1]=true; for (int i=2;i<=lim;i++) { if (!pr[i]) prime[cnt++]=i; for (int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<=lim;j++) { pr[i*prime[j]]=true; if (i%prime[j]==0) break; } } }
求出gcd(a,b)就是求出a和b的最大公因数。
定理： gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
证明：∀r，满足r|a，r|b; 而
r|a mod b 且 r|b
由定义可知，r|a,r|b且r任意，可以为a，b的最大公因数。
证毕。
int gcd(int a,int b) { if (b==0) return a; return simple_gcd(b,a%b); // 代码更短： return (!b)?a:simple_gcd(b,a%b); }
对于下列不定方程，必有一对整数解，我们可以通过exgcd求出|x|+|y|最小的一对！
易得4个方程：
联立解之得（用x‘表示x，y’表示y，a和b是常数）：
特别的，当b=0的时候，方程组变成了ax=gcd(a,0)=a，得a=1，人为定义y=0
int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y) { if (b==0) { x=1;y=0; return a; } int r=ex_gcd(b,a%b,x,y); int t=x;x=y;y=t-a/b*y; return r; }
同余的定义：若a mod p = b mod p ，那么称a与b关于p同余，记作a≡b (mod p)
同余的定理：
乘法逆元的定义:若ax≡1（mod p），那么称x为a在模p意义下的逆(元),记做 a-1
求逆元的方法：
快速幂求逆元：
费马小定理：若p为素数，a为正整数，且a和p互质，有 
推出：
/* 基于费马小定理pow(a,p-2)%p 就是a在mod p意义下的逆元 */ int pow(int x,int n,int m) { if (n==0) return 1; if (n==1) return x; int t=pow(x,n/2,m)%m; t=t*t%m; if (n%2) t=t*x%m; return t; } int inv(int x,int m) { return pow(x,m-2,m)%m; }
扩展欧几里得求逆元
c=1是1等价于：
求出x的正根即可
/* 求ax=1(mod p) 就是求ax%p=1,所以ax ax=kp+1,就是ax-kp=1， 当p为质数的时候gcd(a,-p)=1，求此时x的值就是逆元 注意模到正数就行 */ int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y) { if (b==0) { x=1;y=0; return a; } int r=ex_gcd(b,a%b,x,y); int t=x;x=y;y=t-a/b*y; return r; } int inv(int a,int m) { int x,y; int g=ex_gcd(a,m,x,y); return (x+m)%m; }
筛选法求逆元
有 
两边乘上 i-1k-1
得：
那么，
即
void getinv(int x,int p) { memset(inv,0,sizeof(inv)); inv[1]=1; for (int i=2;i<=x;i++) inv[i]=(long long)(p-p/i)%p*inv[p%i]%p; }
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