CodeForces 724G: Xor-matic Number of the Graph

标签：bool   ret   存在   ati   复杂度   联通   ase   string   sim   

题目传送门：CF724G。

题意简述：

一张 \(n\) 个点的无向图，边有边权。

定义三元组 \((u,v,w)(1\le u\le v\le n)\) 合法当且仅当存在从点 \(u\) 到点 \(v\) 存在一条边权异或和为 \(w\) 的路径，经过多次的边需要算多次。

求所有合法三元组的 \(w\) 值之和对 \(10^9+7\) 取模的值。

题解：

比较简单的线性基和图结合的题目，需要用到线性基的一些基本性质。

对异或线性基在图上的应用稍有了解的同学很快可以发现结论：

• 对于连通无向图 \(G=(V,E)\) 以及 \(G\) 的一棵生成树 \(T\)：
  
• \(G\) 中所有环（简单或非简单环）的异或和均可以被生成树中所有返祖边 \((x\to y)\) 对应的环 \((y\sim x\to y)\) 的异或和组成的线性基 \(B\) 表示出来。
  
• 点 \(u\) 到点 \(v\) 所有路径的异或和可以被 \(T\) 中 \(u\) 到 \(v\) 的路径的异或和异或上线性基 \(B\) 表示出来。
  
• 更进一步地，\(T\) 中 \(u\) 到 \(v\) 的路径的异或和等于 \(u\) 到根的路径的异或和异或 \(v\) 到根的路径的异或和。
  
• 所以 \(u\) 到 \(v\) 所有路径的异或和等于 \(d_u\oplus d_v\oplus B\)，其中 \(d_x\) 表示 \(x\) 到根的路径的异或和。

对于一对 \((u,v)\)，尝试统计 \(d_u\oplus d_v\oplus B\) 中所有数的和。

直接做并不是很好做，考虑按位分开做：

• 对于线性基 \(B\) 和二进制位 \(w\)，有结论：
  
• 设 \(B\) 中元素个数为 \(S\)，则 \(B\) 可以表示出 \(2^S\) 个不同的数。
  
• 如果 \(B\) 中存在二进制第 \(w\) 位为 \(1\) 的数，则那 \(2^S\) 个数中恰有 \(2^{S-1}\) 个数的二进制第 \(w\) 位为 \(1\)，另外 \(2^{S-1}\) 个数的二进制第 \(w\) 位为 \(0\)。
  
• 如果 \(B\) 中不存在二进制第 \(w\) 位为 \(1\) 的数，显然不可能表示出二进制第 \(w\) 位为 \(1\) 的数，全部 \(2^S\) 个数的二进制第 \(w\) 位均为 \(0\)。
  可以通过组合恒等式 \(\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}[i\bmod 2=1]=\begin{cases}0&,n=0\\2^{n-1}&,n>0\end{cases}\) 证明。

统计每一位有多少种能被表示出来的方式，统计进答案即可。

这样需要枚举 \((u,v)\)，其实很简单就能优化。

直接枚举二进制位 \(w\)，考虑线性基 \(B\) 中是否存在二进制第 \(w\) 位为 \(1\) 的数。

如果存在，这意味着无论 \(d_u,d_v\) 的二进制第 \(w\) 位是否为 \(1\)，都恰有 \(2^{S-1}\) 条使得异或和的二进制第 \(w\) 位为 \(1\) 的路径。
这意味着 \(u,v\) 可以随便选，对答案的贡献为 \(2^w2^{S-1}\binom{n}{2}\)。

如果不存在，这意味着 \(d_u,d_v\) 的二进制第 \(w\) 位必须恰有一个为 \(1\)，并且此时存在 \(2^S\) 条使得异或和的二进制第 \(w\) 位为 \(1\) 的路径。
这意味着 \(d_u,d_v\) 的第 \(w\) 位必须恰有一个为 \(1\)，记第 \(w\) 位为 \(1\) 的 \(d_x\) 的个数为 \(x\)，对答案的贡献为 \(2^w2^Sx(n-x)\)。

最后注意原图不一定联通，对于每个联通块分别计算即可。

时间复杂度 \(\mathrm{O}(n\log_2^2t_i)\)。

#include <cstdio>
#include <cstring>

typedef long long LL;
const int Mod = 1000000007;
const int Inv2 = 500000004;
const int MN = 100005;
const int MM = 400005;

int N, M;
int h[MN], nxt[MM], to[MM], tot; LL w[MM];
inline void ins(int x, int y, LL z) { nxt[++tot] = h[x], to[tot] = y, w[tot] = z, h[x] = tot; }

LL B[60], C;
inline void Add(LL x) {
    for (int j = 59; ~j; --j) if (x >> j & 1)
        if (!B[j]) { B[j] = x, C <<= 1; break; }
        else x ^= B[j];
}

bool vis[MN];
LL d[MN];
int s[MN], t;

void DFS(int u, LL v) {
    vis[u] = 1, d[u] = v, s[++t] = u;
    for (int i = h[u]; i; i = nxt[i]) {
        if (vis[to[i]]) Add(v ^ d[to[i]] ^ w[i]);
        else DFS(to[i], v ^ w[i]);
    }
}

LL Ans;

int main() {
    scanf("%d%d", &N, &M);
    for (int i = 1; i <= M; ++i) {
        int x, y; LL z;
        scanf("%d%d%lld", &x, &y, &z);
        ins(x, y, z); ins(y, x, z);
    }
    for (int i = 1; i <= N; ++i) if (!vis[i]) {
        memset(B, 0, sizeof B), C = 1, t = 0;
        DFS(i, 0);
        C %= Mod;
        for (int j = 0; j < 60; ++j) {
            LL c = (1ll << j) % Mod;
            bool ok = 0;
            for (int k = 0; k < 60; ++k) if (B[k] >> j & 1) ok = 1;
            if (ok) Ans = (Ans + (LL)t * (t - 1) / 2 % Mod * C % Mod * c) % Mod;
            else {
                int x = 0;
                for (int i = 1; i <= t; ++i) if (d[s[i]] >> j & 1) ++x;
                Ans = (Ans + 2ll * x * (t - x) % Mod * C % Mod * c) % Mod;
            }
        }
    }
    printf("%d\n", (LL)Ans * Inv2 % Mod);
    return 0;
}

CodeForces 724G: Xor-matic Number of the Graph

标签：bool   ret   存在   ati   复杂度   联通   ase   string   sim   

原文地址：https://www.cnblogs.com/PinkRabbit/p/10326681.html