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上篇的CRF++源码阅读中， 我们看到CRF++如何处理样本以及如何构造特征。本篇文章将继续探讨CRF++的源码，并且本篇文章将是整个系列的重点，会介绍条件随机场中如何构造无向图、前向后向算法、如何计算条件概率、如何计算特征函数的期望以及如何求似然函数的梯度。本篇将结合条件随机场公式推导和CRF++源码实现来讲解以上问题。原文链接
我们接着上一篇encoder.cpp文件中的learn函数继续看，该函数的下半部分将会调用具体的学习算法做训练。目前CRF++支持两种训练算法，一种是拟牛顿算法中的LBFGS算法，另一种是MIRA算法， 本篇文章主要探讨LBFGS算法的实现过程。在learn函数中，训练算法的入口代码如下：
switch (algorithm) { case MIRA: //MIRA算法的入口 if (!runMIRA(x, &feature_index, &alpha[0], maxitr, C, eta, shrinking_size, thread_num)) { WHAT_ERROR("MIRA execute error"); } break; case CRF_L2: //LBFGS-L2正则化的入口函数 if (!runCRF(x, &feature_index, &alpha[0], maxitr, C, eta, shrinking_size, thread_num, false)) { WHAT_ERROR("CRF_L2 execute error"); } break; case CRF_L1: //LBFGS-L1正则化的入口函数 if (!runCRF(x, &feature_index, &alpha[0], maxitr, C, eta, shrinking_size, thread_num, true)) { WHAT_ERROR("CRF_L1 execute error"); } break; }
runCRF函数中会初始化CRFEncoderThread数组，并启动每个线程，源码如下：
bool runCRF(const std::vector<TaggerImpl* > &x, EncoderFeatureIndex *feature_index, double *alpha, size_t maxitr, float C, double eta, unsigned short shrinking_size, unsigned short thread_num, bool orthant) { ... //省略代码
for (size_t itr = 0; itr < maxitr; ++itr) { //开始迭代， 最大迭代次数为maxitr，即命令行参数-m for (size_t i = 0; i < thread_num; ++i) { thread[i].start(); //启动每个线程，start函数中会调用CRFEncoderThread类中的run函数 } for (size_t i = 0; i < thread_num; ++i) { thread[i].join(); //等待所有线程结束 }
... //省略代码
CRFEncoderThread类中的run函数调用gradient函数，完成一系列的核心计算。源码如下：
void run() { obj = 0.0; err = zeroone = 0; std::fill(expected.begin(), expected.end(), 0.0); //excepted变量存放期望 for (size_t i = start_i; i < size; i += thread_num) {//每个线程并行处理多个句子， 并且每个线程处理的句子不相同， size是句子的个数 obj += x[i]->gradient(&expected[0]); //x[i]是TaggerImpl对象，代表一个句子， gradient函数主要功能： 1. 构建无向图 2. 调用前向后向算法 3. 计算期望 int error_num = x[i]->eval(); err += error_num; if (error_num) { ++zeroone; } } }
我们知道条件随机场是概率图模型，几乎所有的概率计算都是在无向图上进行的。那么这个图是如果构造的呢？答案就在gradient函数第一个调用 —— buildLattice函数中。该函数完成2个核心功能，1. 构建无向图 2. 计算节点以及边上的代价，先看一下无向图的构造过程：
void TaggerImpl::buildLattice() { if (x_.empty()) { return; } feature_index_->rebuildFeatures(this); //调用该方法初始化节点（Node）和边（Path），并连接 ... //省略代码 }
void FeatureIndex::rebuildFeatures(TaggerImpl *tagger) const { size_t fid = tagger->feature_id(); //取出当前句子的feature_id，上篇介绍构造特征的时候，在buildFeatures函数中会set feature_id const size_t thread_id = tagger->thread_id(); Allocator *allocator = tagger->allocator(); allocator->clear_freelist(thread_id); FeatureCache *feature_cache = allocator->feature_cache();
//每个词以及对应的所有可能的label，构造节点 for (size_t cur = 0; cur < tagger->size(); ++cur) { //遍历每个词， const int *f = (*feature_cache)[fid++]; //取出每个词的特征列表，词的特征列表对应特征模板里的Unigram特征 for (size_t i = 0; i < y_.size(); ++i) { //每个词都对应不同的label， 每个label用数组的下标表示，每个特征+当前的label就是特征函数 Node *n = allocator->newNode(thread_id); //初始化新的节点，即Node对象 n->clear(); n->x = cur; //当前词 n->y = i; //当前词的label n->fvector = f; //特征列表 tagger->set_node(n, cur, i); //有一个二维数组node_存放每个节点 } }
//从第二个词开始构造节点之间的边，两个词之间有y_.size()*y_.size()条边 for (size_t cur = 1; cur < tagger->size(); ++cur) { const int *f = (*feature_cache)[fid++]; //取出每个边的特征列表，边的特征列表对应特征模板里的Bigram特征 for (size_t j = 0; j < y_.size(); ++j) {//前一个词的label有y_.size()种情况，即y_.size()个节点 for (size_t i = 0; i < y_.size(); ++i) {//当前词label也有y_.size()种情况，即y_.size()个节点 Path *p = allocator->newPath(thread_id);//初始化新的节点，即Path对象 p->clear();
//add函数会设置当前边的左右节点，同时会把当前边加入到左右节点的边集合中 p->add(tagger->node(cur - 1, j), //前一个节点 tagger->node(cur, i)); //当前节点 p->fvector = f; } } } }
图构造完成后， 接下来看看节点和边上的代价是如何计算的。那么代价是什么？我的理解就是特征函数值乘以特征的权重。这部分源码在buildLattice函数中，具体如下：
for (size_t i = 0; i < x_.size(); ++i) { for (size_t j = 0; j < ysize_; ++j) { feature_index_->calcCost(node_[i][j]); //计算节点的代价 const std::vector<Path *> &lpath = node_[i][j]->lpath; for (const_Path_iterator it = lpath.begin(); it != lpath.end(); ++it) { feature_index_->calcCost(*it); //计算边的代价 } } } //节点的代价计算函数 void FeatureIndex::calcCost(Node *n) const { n->cost = 0.0; #define ADD_COST(T, A) do { T c = 0; for (const int *f = n->fvector; *f != -1; ++f) { c += (A)[*f + n->y]; } \ //取每个特征以及当前节点的label，即为特征函数，且值为1，特征函数乘以权重（alpha_[*f + n->y]）是代价，特征函数为1所以代价=alpha_[*f + n->y]*1，对所有代价求和 n->cost =cost_factor_ *(T)c; } while (0) //cost_factor_是代价因子 if (alpha_float_) { ADD_COST(float, alpha_float_); } else { ADD_COST(double, alpha_); //将会在这里调用， 上一篇内容可以看到，CRF++初始化的是alpha_变量 } #undef ADD_COST }
//边的代价计算函数与节点类似，不再赘述
看完源码，我们举个例子来可视化一下无向图，仍然用上一篇中构造特征的那个例子。如果忘记了，出门左转回顾一下。上一个例子中有三个词，假设这三个词分别是“我”、“爱”、“你”。构建的无向图如图一所示。
图一
这个例子中，有三个词和三个label，每个label用0,1，2表示，之前我们说过用数组下标代替label。每个词有3个节点，且这三个节点的特征列表f是一样的，由于label不一样，所以他们的特征函数值不一样。由于没有bigram特征，所有边上的特征列表都是f=[-1]。大部分资料的无向图前后会加一个start节点和stop节点，加上后可以便于理解和公式推导。CRF++源码中没加，所以我们这里就没有表示。在这里node_[0][0]对应就是最左上角的节点，代表“我”这个词label为0的节点。我们再看一下node_[0][0]这个节点的代价如何计算的，node_[0][0]的cost = alpha_[0 + 0] + alpha_[3 + 0] = alpha_[0] + alpha_[3]，由于alpha_第一次节点初始化为0，所以cost=0。其余节点和边计算方法类似。
有了无向图，我们就可以在图上进行前向-后向算法。利用前向-后向算法，很容易计算标记序列在位置i（词）的label是yi的条件概率，以及在位置i-1（前一个词）与位置i（当前词）的label是yi-1与yi的条件概率。进行CRF++源码阅读之前先看一下条件随机场矩阵的表示形式。对一个句子的每一个位置（单词） i=1,2,…，n+1，定义一个 m 阶矩阵（m 是标记 yi 取值的个数），i=0代表start节点， i=n+1代表stop节点。
\begin{aligned} M_i(x) &= \left \{ M_i(y_{i-1},y_i|x)\right \} \\ M_i(y_{i-1},y_i|x)&= \exp \left \{ W_i(y_{i-1} ,y_i|x)\right \}\\ W_i(y_{i-1},y_i|x)&= \sum_{k=1}^Kw_k \cdot f_k(y_{i-1},y_i,x,i) \end{aligned}
\begin{align} f_k(y_{i-1},y_i,x,i) = \left \{ \begin{aligned} &t_k(y_{i-1},y_i,x,i), \ \ k = 1,2,...,K_1 \\ &s_t(y_i,x,i), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k = K_1 + l ; l = 1,2,...,K_2 \end{aligned}\right. \end{align}
Wi 的解释：当前节点代价 + 与该节点相连的一条边的代价。
节点之间的转移概率，用矩阵的形式表现如下：
\begin{aligned} M_1(x) &= \begin{bmatrix} M_1(0,0|x) & M_1(0,1|x) &M_1(0,2|x) \\ 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 &0 \end{bmatrix} \\ \\ M_2(x) &=\begin{bmatrix} M_2(0,0|x) & M_2(0,1|x) & M_2(0,2|x)\\ M_2(1,0|x) & M_2(1,1|x) & M_2(1,2|x)\\ M_2(2,0|x) & M_2(2,1|x) & M_2(2,2|x) \end{bmatrix} \\ \\ M_i(x) \ &\mathbf{has \ the \ same \ form \ with} \ M_2(X), \ i = 3,...,n\\ \\ M_{n+1}(x) &=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1&0&0 \end{bmatrix} \\ \end{aligned}
Mi 的解释：以 \begin{aligned} M_2(2,1|x) \end{aligned} 为例，代表第2个位置（第2个词）label是1，前一个词label是2，计算Wi，再取exp后的值。接下来，我们看一下用矩阵表示的前向-后向算法。
对i = 0, 1, 2, ... n+1， 定义前向向量αi(x)，对于起始状态i = 0：
\begin{align} \alpha_0(y|x) = \left \{ \begin{aligned} &1, \ \ y = start \\ &0, \ \ else \end{aligned}\right. \end{align}
对于之后的状态 i=1,2,...,n+1，递推公式为：
\begin{aligned} a_i^T(y_i|x) = a^T_{i-1}(y_{i-1}|x)M_i(y_{i-1},y_i|x) \end{aligned}
假设label个数是m，α是m*1的列向量，Mi(yi-1,yi|x) 是m*m的矩阵，α解释：前一个单词每个节点的α分别乘以（与当前节点相连的边的代价 + 当前节点的代价），再求和 。
同样，后向算法β计算， 对于i = 0, 1, 2, ..., n+1，定义后向向量βi(x)：
\begin{align} \beta_{n+1}(y_{n+1}|x) = \left \{ \begin{aligned} &1, \ \ y_{n+1} = stop \\ &0, \ \ else \end{aligned}\right. \end{align}
向前递推公式如下：
\begin{aligned} \beta_i(y_i|x) = M_i(y_i,y_{i+1}|x)\beta_{i+1}(y_{i+1}|x) \end{aligned}
βi是m*1的列向量， Mi(yi,yi+1|x)是m*m的矩阵。β解释：（当前词与下一个词连接的边的代价 + 下一个词的代价） 分别乘以下一个词的β，再相加。
由前向-后向向量定义不难得到：
\begin{aligned} Z(x) = a_n^T(x) \cdot \mathbf{1} = \mathbf{1}^T \cdot \beta_1(x) \end{aligned}
需要注意一下，矩阵表示形式的代价是对特征函数乘以权重加和后再取exp的值， 而上面的CRF++ calcCost函数中并没有取exp值。
接下来继续看下α和β在CRF++中是如何计算的。在gradient函数中调用的forwardbackward函数即是这部分的核心代码，具体如下：
void TaggerImpl::forwardbackward() { if (x_.empty()) { return; } for (int i = 0; i < static_cast<int>(x_.size()); ++i) { //前向算法 for (size_t j = 0; j < ysize_; ++j) { node_[i][j]->calcAlpha(); } } for (int i = static_cast<int>(x_.size() - 1); i >= 0; --i) { //后向算法 for (size_t j = 0; j < ysize_; ++j) { node_[i][j]->calcBeta(); } } Z_ = 0.0; for (size_t j = 0; j < ysize_; ++j) { //计算Z(x) Z_ = logsumexp(Z_, node_[0][j]->beta, j == 0); } return; } void Node::calcAlpha() { alpha = 0.0; for (const_Path_iterator it = lpath.begin(); it != lpath.end(); ++it) { //这里遍历当前节点的左边(path)的集合， 对应的就是Mi(yi-1,yi|x)矩阵中的某一列 alpha = logsumexp(alpha, (*it)->cost +(*it)->lnode->alpha, (it == lpath.begin())); //函数里面回取exp，因此边的代价 + 上一个节点的α，会转化成相乘，取完exp还会再取log，取log为了方式直接exp导致的溢出 } alpha += cost; //统一加上当前节点的代价， Mi(yi-1,yi|x)每列中每个元素都加了当前节点的代价， 只不过CRF++是在后面统一加上 } void Node::calcBeta() { //与上面类似 beta = 0.0; for (const_Path_iterator it = rpath.begin(); it != rpath.end(); ++it) { beta = logsumexp(beta, (*it)->cost +(*it)->rnode->beta, (it == rpath.begin())); } beta += cost; //这里需要注意，在矩阵的推导过程中，没有加当前节点的代价，但是CRF++里面加了， 后续我们会看到有一个减当前节点代价的一段代码 } // log(exp(x) + exp(y)); // this can be used recursivly // e.g., log(exp(log(exp(x) + exp(y))) + exp(z)) = // log(exp (x) + exp(y) + exp(z))
// 这部分取log的操作是为了防止直接取exp溢出，具体的解释以及推导参考 计算指数函数的和的对数
inline double logsumexp(double x, double y, bool flg) { if (flg) return y; // init mode const double vmin = std::min(x, y); const double vmax = std::max(x, y); if (vmax > vmin + MINUS_LOG_EPSILON) { return vmax; } else { return vmax + std::log(std::exp(vmin - vmax) + 1.0); } }
阅读完上述代码会发现，这里的α计算除了没有对最终结果取exp以外，跟上面矩阵推导的α计算是一样的。可以利用矩阵方法和CRF++的算法具体算一下α或β的值，对比一下理解的会更深， 这个过程并不复杂。
有了α和β，就可以进行条件概率和期望的计算。一个句子在位置i的label是yi的条件概率，以及在位置i-1与位置i标记为yi-1与yi的概率：
\begin{aligned} P(Y_i= y_i|x) &= \frac{a_i^T(y_i|x) \beta_i(y_i|x)}{Z(x)} \\ P(Y_{i-1} = y_{i-1} ,Y_i= y_i|x) &=\frac{a_{i-1}^T(y_{i-1}|x)M_i(y_{i-1},y_i|x)\beta_i(y_i|x)}{Z(x)} \end{aligned}
第一个式子可以说是节点的概率，第二个式子是节点之间边的概率。有了条件概率，就可以计算特征函数fk 关于条件分布 P(Y|X) 的数学期望是：
\begin{aligned} E_{p(Y|X)}[f_k] &= \sum_yP(y|x)f_k(y,x) \\ &=\sum_{i=1}^{n+1}\sum_{y_{i-1}\ y_i}f_k(y_{i-1},y_i,x,i) \frac{a_{i-1}^TM_i(y_{i-1},y_i|x)\beta_i(y_i|x)}{Z(x)} \end{aligned}
计算特征函数的期望是因为后续计算梯度的时候会用到。这里，如果fk是unigram特征（状态特征），对应的条件概率是节点的概率， 如果是bigram特征（转移特征），条件概率就是边的概率。继续看下CRF++中是如何计算条件概率和特征函数的期望的，代码在gradient函数中：
for (size_t i = 0; i < x_.size(); ++i) { //遍历每一个节点的，遍历计算每个节点和每条边上的特征函数，计算每个特征函数的期望 for (size_t j = 0; j < ysize_; ++j) { node_[i][j]->calcExpectation(expected, Z_, ysize_); } } void Node::calcExpectation(double *expected, double Z, size_t size) const { //状态特征的期望 const double c = std::exp(alpha + beta - cost - Z); //这里减去一个多余的cost，剩下的就是上面提到的节点的概率值 P(Yi=yi | x)，这里已经取了exp，跟矩阵形式的计算结果一致 for (const int *f = fvector; *f != -1; ++f) { expected[*f + y] += c; //这里会把所有节点的相同状态特征函数对应的节点概率相加，特征函数值*概率再加和便是期望。由于特征函数值为1，所以直接加概率值 } for (const_Path_iterator it = lpath.begin(); it != lpath.end(); ++it) { //转移特征的期望 (*it)->calcExpectation(expected, Z, size); } } void Path::calcExpectation(double *expected, double Z, size_t size) const { const double c = std::exp(lnode->alpha + cost + rnode->beta - Z); //这里计算的是上面提到的边的条件概率P(Yi-1=yi-1,Yi=yi|x)，这里取了exp，跟矩阵形式的计算结果一致 for (const int *f = fvector; *f != -1; ++f) { expected[*f + lnode->y * size + rnode->y] += c; //这里把所有边上相同的转移特征函数对应的概率相加 } }
至此，CRF++中前后-后向算法、条件概率计算以及特征函数的期望便介绍完毕，接下来看看如何计算似然函数值和梯度。
条件随机场的训练，我们这里主要看CRF++中应用的LBFGS算法。先做简单的推导， 再结合实际的CRF++源码去理解。条件随机场模型如下：
\begin{aligned} P_w(y|x) = \frac{\exp \left \{ \sum_{k=1}^K w_kf_k(x,y)\right \}}{ \sum_y \left \{ \exp \sum_{i=1}^n w_if_i(x,y)\right \}} \end{aligned}
\begin{aligned} f_k(y,x) = \sum_{i=1}^nf_k(y_{i-1},y_i,x,i), k=1,2,...,K \end{aligned}
训练函数的对数似然如下：
\begin{aligned} L(w) &= \log \prod_{t}P_w(y^t|x^t) \\ &= \sum_{t} \log P_w(y^t|x^t) \\ &= \sum_{t} \left \{ \sum_{k=1}^Kw_kf_k(y^t,x^t)-\log Z_w(x) \right \} \end{aligned}
t代表所有的训练样本， 一般使用m来表示，但是上面已经把m给用了， 为了避免歧义， 我们用t来表示训练样本。我们求似然函数最大值来求解最优参数w，同时也可以对似然函数加负号，通过求解最小值来求最优的w。这里我们与CRF++保持一致，将似然函数取负号，再对wj求导，推导如下：
\begin{aligned} \frac{\partial L(w)}{\partial w_j} &= \sum_{t} \left \{ \frac{\sum_y \left \{ f_i(x^t,y^t)\exp \sum_{i=1}^K w_if_i(x^t,y)\right \}}{Z_w(x)} - f_j(y^t,x^t) \right \} \\ &= \sum_{t} \left \{ \sum_y P(y|x^t)f_j(y, x^t) - f_j(y^t,x^t) \right \} \\ &= \sum_{t} \left \{ E_{P(y|x)}[f_j(y,x)] - f_j(y^t,x^t) \right \} \end{aligned}
对于一个句子来说，特征函数的期望减去特征函数真实值就是我们要计算的梯度，Σt 代表对所有句子求和得到最终的梯度。接下来看下CRF++中是如何实现的，代码还是在gradient函数中：
for (size_t i = 0; i < x_.size(); ++i) { //遍历每一个位置（词） for (const int *f = node_[i][answer_[i]]->fvector; *f != -1; ++f) { //answer_[i]代表当前样本的label，遍历每个词当前样本label的特征，进行减1操作，遍历所有节点减1就相当于公式中fj(y,x) --expected[*f + answer_[i]]; //状态特征函数期望减去真实的状态特征函数值 } s += node_[i][answer_[i]]->cost; // UNIGRAM cost 节点的损失求和 const std::vector<Path *> &lpath = node_[i][answer_[i]]->lpath; for (const_Path_iterator it = lpath.begin(); it != lpath.end(); ++it) {//遍历边，对转移特征做类似计算 if ((*it)->lnode->y == answer_[(*it)->lnode->x]) { for (const int *f = (*it)->fvector; *f != -1; ++f) { --expected[*f +(*it)->lnode->y * ysize_ +(*it)->rnode->y]; //转移特征函数期望减去真实转移特征函数值 } s += (*it)->cost; // BIGRAM COST 边损失求和 break; } } } viterbi(); // call for eval() 调用维特比算法做预测，为了计算分类错误的次数，算法详细内容下篇介绍 return Z_ - s ; //返回似然函数值，看L(w)推导的最后一步，大括号内有两项，其中一项是logZw(x)，我们知道变量Z_是没有取exp的结果，我们要求这一项需要先对Z_取exp，取exp再取log相当于还是Z_，因此 logZw(x) = Z_ //再看另一项，是对当前样本代价求和，正好这一项是没有取exp的因此该求和项就等于s， 之前说过CRF++是对似然函数取负号，因此返回Z_ - s
至此，一个句子的似然函数值和梯度就计算完成了。公式的Σt 是对所有句子求和，CRF++的求和过程是在run函数调用gradient函数结束后由线程内汇总，然后所有线程结束后再汇总。runCRF函数剩下的代码便是所有线程完成一轮计算后的汇总逻辑，如下：
for (size_t i = 1; i < thread_num; ++i) { //汇总每个线程的数据 thread[0].obj += thread[i].obj; //似然函数值 thread[0].err += thread[i].err; thread[0].zeroone += thread[i].zeroone; } for (size_t i = 1; i < thread_num; ++i) { for (size_t k = 0; k < feature_index->size(); ++k) { thread[0].expected[k] += thread[i].expected[k]; //梯度值求和 } } size_t num_nonzero = 0; if (orthant) { // L1 根据L1或L2正则化，更新似然函数值 for (size_t k = 0; k < feature_index->size(); ++k) { thread[0].obj += std::abs(alpha[k] / C); if (alpha[k] != 0.0) { ++num_nonzero; } } } else { //L2 num_nonzero = feature_index->size(); for (size_t k = 0; k < feature_index->size(); ++k) { thread[0].obj += (alpha[k] * alpha[k] /(2.0 * C)); thread[0].expected[k] += alpha[k] / C; } } ...省略代码 if (lbfgs.optimize(feature_index->size(), &alpha[0], thread[0].obj, &thread[0].expected[0], orthant, C) <= 0) { //传入似然函数值和梯度等参数，调用LBFGS算法 return false; }
最终调用LBFGS算法更新w，CRF++中的LBFGS算法最终是调用的Fortran语言编译后的C代码，可读性比较差，本篇文章暂时不深入介绍。至此，一次迭代的计算过程便介绍完毕。
通过这篇文章的介绍，已经了解到了CRF++如何构建无向图、如何计算代价、如何进行前向-后向算法、如何计算特征函数的期望以及如何计算梯度。写这篇文章耗时最长，花了整整一天的时间。力求这篇文章通俗易懂，理论结合实践。希望能够把条件随机场这个比较枯燥的算法诠释好。文中有可能仍然有表达不通顺或者表达不通俗的地方，甚至可能会有表达错误的地方，如果存在上述问题欢迎评论区留言，我将第一时间更新。
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