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【Luogu P2764】最小路径覆盖问题

网络流 \(24\) 题之一。

Topic

Description

给出一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的 \(DAG\) ，求最小路径点覆盖，并输出路径选择方案。

输入输出格式

输入格式：

第一行有 \(2\) 个正整数 \(n\) 和 \(m\) 。 \(n\) 是给定\(\text{GAP}\)(有向无环图) \(G\) 的顶点数， \(m\) 是 \(G\) 的边数。接下来的 \(m\) 行,每行有两个正整数 \(i\) 和 \(j\) 表示一条有向边 \((i,j)\)。

输出格式：

从第1 行开始，每行输出一条路径。文件的最后一行是最少路径数。

输入输出样例

输入样例1：

11 12
1 2
1 3
1 4
2 5
3 6
4 7
5 8
6 9
7 10
8 11
9 11
10 11

输出样例1：

1 4 7 10 11
2 5 8
3 6 9
3

说明

\(1\leq n\leq 150,1\leq m\leq 6000\)

思路

这题其实就是 \(DAG\) 上的最小路径点覆盖，详情参考这篇 \(blog\) 。

其实这里只要叙述怎么处理方案的输出就好了 ......

我们对于二分图跑完最大流之后，扫一遍二分图中所有的边 (并不包括连向超级源点汇点的边) ，根据网络流残余网络的特性，如果某一条边的反边中剩余容量不为 \(0\) ，那么它必定是最大流中的一条可行弧。则我们记录下这条边，对于左侧点 \(i\) ，记录一个 \(next[i]\) 代表 \(i\) 连向的边，并记录右侧点 \(j‘\) 是否被经过。接着，我们扫一遍右边的点，如果 \(i‘\) 没有被任何一条边经过，则入度为 \(0\) ，必定为路径起点，那么我们从 \(i\) 开始借助 \(next\) 数组遍历这条路径并输出即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,S,T;
int head[1001],nx[20001],to[20001],w[20001],cnt;
int deep[1001],nt[1001];
bool book[20001],r[1001];
int inf=1e9,ans;
void add(int u,int v,int W,int d)
{
    to[d]=v,nx[d]=head[u],w[d]=W;
    head[u]=d;
}
queue <int> q;
bool init()
{
    memset(book,0,sizeof(book));
    memset(deep,-1,sizeof(deep));
    deep[S]=1;
    q.push(S);
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[x];i;i=nx[i])
            if(deep[to[i]]==-1&&w[i]>0)
            {
                deep[to[i]]=deep[x]+1;
                q.push(to[i]);
            }
    }
    return deep[T]!=-1;
}
int dfs(int x,int limit)
{
    if(x==T||!limit)return limit;
    int flow=0,fnow;
    for(int i=head[x];i;i=nx[i])
        if(deep[to[i]]==deep[x]+1&&!book[i]&&(fnow=dfs(to[i],min(limit,w[i]))))
        {
            book[i]=true;
            flow+=fnow;
            limit-=fnow;
            w[i]-=fnow;
            w[i^1]+=fnow;
            if(!limit)break;
        }
    return flow;
}
void print(int x)
{
    if(!x)return;
    printf("%d ",x);
    print(nt[x]);
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    S=n*2+1,T=n*2+2,cnt=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        add(S,i,1,++cnt);
        add(i,S,0,++cnt);
        add(i+n,T,1,++cnt);
        add(T,i+n,0,++cnt);
    }
    int u,v;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        v+=n;
        add(u,v,inf,++cnt);
        add(v,u,0,++cnt);
    }
    while(init())
        dfs(S,inf);
    for(int i=2;i<=cnt;i+=2)
    {
        int p1=to[i],p2=to[i^1];
        if(p1==S||p1==T||p2==S||p2==T)continue;
        if(w[i^1])nt[to[i^1]]=to[i]-n,r[to[i]-n]=true;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!r[i])
        {
            ans++;
            print(i);
            cout<<endl;
        }
    cout<<ans;
}

【Luogu P2764】最小路径覆盖问题

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原文地址：https://www.cnblogs.com/luoshuitianyi/p/10333974.html