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群是一种很特殊且充满对称性的代数结构，这里我们先不关注这些对称性，首先抽象地引入群的定义。
一、 群
定义 在非空集合$G=\{a,b,c,...\}$中规定一种元素间的代数运算，称为“乘法”。设$a,b\in G$，$a$与$b$相乘记作$a\circ b$，如果乘法使集合$G$满足以下四条公理，称$G$是一个群：
(i) 封闭性 $a,b\in G\quad\Rightarrow\a\circ b\in G$.
(ii) 结合性 $a,b,c\in G\quad\Rightarrow(a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c)$.
(iii) 单位元 $\extists e\in G\quad\Rightarrow \forall a\in G, a\circ e=a$.
(iV) 逆元 $\forall a\in G\quad\Rightarrow \exists b\in G, a\circ b=e$.
特别地，如果对群$G$中任意$a,b$都有$a\circ b=b\circ a$,则群$G$称为Abel群或可交换群。
$G$中元素的个数称为群$G$的阶，用$|G|$表示，依次可将群分为有限群和无限群。
注：在不引起歧义的情况下，常常将$a\circ b$简写成$ab$.
定理2.1（重新排列定理） 对于群$G={e,a_2,a_3,...,a_n}$，在序列$ea_k,a_2a_k,...,a_na_k$，或$a_ke,a_ka_2,...,a_ka_n$中，每个元素$a_i$出现一次，而且仅出现一次。
证明： 对群而言，有消去律的存在，即对$a,b,c,d\in G$，如果有$ac=bc=d$，那么$a=b$. 因为逆元的存在，$a=b=dc^{-1}$。
那么，对$a_i,a_j,a_k\in G$, $i\neq j$，即$a_i\neq a_j$。假设$a_ia_k=a_ja_k$，那么由消去律，$a_i=a_j$。矛盾，故假设不成立。因此$a_i\neq a_j\quad\Rightarrow a_ia_k\neq a_ja_k$。因此在序列中各元素均不重复，又元素的个数为$|G|$，每个元素$a_i$恰好仅出现一次。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/zmshum/p/10339953.html
