标签：text 技术 line 红色 src 傅里叶变换 isp 一次函数 command
笔者学习的是这份博客
内容中可能有很多相同之处，敬请谅解。
现在要计算两个一元\(n\)次多项式\(F(x)\)与\(G(x)\)的乘积，如何计算？
前置知识：多项式的表示方法
一. 系数表示法
对于一个\(n\)次多项式\(F(x)\)，它可以被表示成
\[F(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x^1+a_0x^0.\]
更加形式化的来说，它可以表示成
\[F(x) = \sum_{i=0}^{n} a_ix^i.\]
举个例子，2次多项式，其中\(a_0=1,a_1=2,a_2=1\)
那么\(F(x)=1x^2+2x+1.\)这样即可通俗的表示出一个\(n\)次多项式。
二. 点值表示法
众所周知，两个点确定一个一次函数，三个点确定一个二次函数。
所以，\(n+1\)个点确定一个一元\(n\)次多项式。
所以我们可以通过\(n+1\)个点来表示它。
那么相乘之后的点值如何计算？
比如说两个2次多项式\(F(x)=x^2+2x+1\)（红色）与\(G(x)=3x^2-4x-2\)（蓝色），它们的图像如图所示：
那么观察图中\(x=1\)时的情况。此时\(F(1)=4,G(1)=-3.\)
所以，显然，\(F(1)\times G(1)=-12\).也就是说在\(Z=F*G\)这一多项式内，带入\(1\)，得到的结果是\(-12\).
等等，好像有哪里不对。如果说\(Z=F*G\)的话，那么Z的次数应该是\(2n\).
那\(Z\)需要\(2n+1\)个点来确定。但是原来只需要\(n+1\)个点，咋办？
很简单，在原来的多项式里每个都多加\(n\)个点即可。反正多项式已知。
这样就可以用点值来进行操作。也就是说先转成点值，再一乘，再转回来，就是计算流程。
但是好像还是很慢。那么如何优化呢?
复数部分
复数，即形如\(a+bi\)的数，其中\(\sqrt{i}=-1.\) \(a\)称为实部，\(bi\)称为虚部。
或者说：在一个数轴上（只有x轴），我们可以表示出任何实数。
那么，多加一维（y轴），也就是类似于平面直角坐标系一样，我们就可以表示出任意一个复数。
所以我们把这个坐标系叫做复平面，其中x轴称为实轴，y轴称为虚轴。
复数运算
复数相加：实部相加，虚部相加，例如
\[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.\]
复数相减：同理。
\[(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.\]
复数相乘：像一次多项式一样相乘。 注意\(i^2=-1\).
\[(a+bi)(c+di)=ac+(ad+bc)i-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i.\]
复数相除：
相信大家都学过共轭根式。同样的，复数也有共轭。
即：\(a+bi\)的共轭为\(a-bi\)。
这两个复数卡乘在一起一定是个实数。即
\[(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2+b^2.\]
所以再除的时候，将分子分母同乘分母的共轭，就可以将分母有理化。
即
\[\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}=\frac{(ac+bd)}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i.\]
复数逆元：
\[\frac{1}{a+bi}=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i.\]
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原文地址：https://www.cnblogs.com/LiM-817/p/10340935.html
