标签:cell 等于 top 威佐夫博弈 博弈 body 一个 移动 不为
一、巴什博弈
假设要报 n 个数,每次最少报一个,最多报 m 个,可得状态式:
若 r =0.先手必败,否则先手必胜
二、威佐夫博弈
有两堆若干物品,两个人轮流以其中取至少一件物品,至多不限,或从两堆中取相同件物品,最后取完者胜,可得:
设两堆初始为 x, y,且 x <y.则令 z = y-x,记
若 W = X,则先手必败,否则先手必胜
三、尼姆博弈
有任意堆物品,每堆物品的个数是任意的,双方轮流从中取物品,每一次只能从一堆物品中取部分或全部物品,最少取一件,取最后一件者胜,可得:
把每堆物品异或起来,值为0则先手必败,否则先手必胜
四,斐波那契博弈
有一堆物品,两人轮流取物品,先手最少取一个,至多无上限,但不能把物品取完,之后每次取的物品数不超过上次取的物品数的 二倍且至少为一件,取最后一件者获胜,可得:
先手胜当且仅当 n 不为斐波那契数
五. SG 函数(组合博弈)
mex 求出一堆数中还没有出现的首个自然数
S 表示 x 后继状态 |
函数满足以下性质:
(1 )函数等于0时,它的后继都不为0
(2 函数不为0时,它的后继一定有为0的
(3 当 x 没有出边时,函数值为0
三个性质对应先手必败的以下性质:
(1 )无法进行任何移动的局面
(2)可以移到先手必败的是先手必胜
(3)所有移动都导致先手必胜的是先手必败
由此可知,函数值为0即先手必败
六.阶梯博弈
有几堆石子,每次可选择第 i 堆中的任意多个移到第 i-1堆中,第1堆可以放到第0堆中,最后无法操作为输,可得:
先手必败当且仅当奇数阶梯上的石子数异或为0
七.反尼姆博弈
与尼姆博弈相似,只是取最后者输,可得:
两种情况:
(1) 所有堆的石子数均大于1
当堆数为奇数时,先手必败,反之先手必胜
(2 至少有一堆石子数大于1
当 SG 不为0时,先手必胜
当 SG 为0时,先手必败
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