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群作为代数结构首先是一个集合，那么元素间可能有各种等价关系，这些等价关系给出了群的划分，也使群自身结构的特异性突出。
一、 陪集
定义 设$H$是$G$的一个子群，$a\in G$，作集合$aH=\{ax|x\in H\}$，称$aH$是关于子群$H$的一个左陪集。类似地，可定义右陪集$Ha=\{xa|x\in H\}$.
对于陪集，我们有如下性质:
(i) $aH$中元素个数与$H$一样。（重新排列定理）
(ii) $H$本身也是$H$的一个陪集($eH$, $He$).
(iii) $a$在陪集$aH$中，称$a$为陪集$aH$的一个代表。
(iV) 设$b\in aH$，则有$aH=bH$. 即$aH$中任一元素，均可作$aH$的一个代表。
(V) 由此可以定义等价关系 $a,b\in G$，若$a^{-1}b\in H$, 则$a\sim b$. 此等价关系给出$G$的一个划分
$$G=a_1H\cup a_2H\cup...\cup a_l H$$.
下面重点证明(iV)和(V)。
证明: (iV) 有$b=ah,\, h\in H$。则对$\forall h_i\in H$，有$ah_i=b(h^{-1}h_i)$. 即$aH\subset bH$.
同理，$bh_i=a(hh_i)\in aH$，即$bH\subset aH$. 故$aH=bH$.
(V) 自反: $a^{-1}a=e\in H\quad\Rightarrow a\sim a$.
对称: $a\sim b\quad\Rightarrow a^{-1}b\in H\quad\Rightarrow (a^{-1}b)^{-1}=b^{-1}a\in H\quad\Rightarrow b\sim a$.
传递: $a\sim b, b\sim c\quad\Rightarrow a^{-1}b,\,b^{-1}c\in H\quad\Rightarrow(a^{-1}b)(b^{-1}c)=a^{-1}c\in H\quad\Rightarrow a\sim c$.
定义 群$G$中子群$H$的相异陪集个数称为$H$在$G$中的指数，记为$(G:H)$.
定理2.3(Lagrange定理) $n$阶群$G$的子群$H$的阶$m$是$n$的一个因数。即$n=(G:H)m$.
下面我们来看看群中的其他等价关系。
二、 共轭
定义 设$a,b\in G$，若$g\in G$，使得$a=gbg^{-1}$，则称$a$是$b$的共轭元素，$a$与$b$有共轭关系。$b$得到$a$的运算为$b$在$g$下的相似变换。
下面我们来看共轭关系也是一种等价关系。
(i) 自反 令$g=e$.
(ii) 对称 如果$a\sim b$, 那么$a=gbg^{-1}$. 同时，$b=hah^{-1}$，$h=g^{-1}$。那么$b\sim a$.
(iii) 传递 如果$a\sim b,\, b\sim c$，那么$a=gbg^{-1},\,b=hch^{-1}$. 则$a=(gh)c(gh)^{-1}$, 即$a\sim c$.
由此，共轭关系是一种等价关系。群$G$可按共轭关系分割成一些等价类$A_a=\{gag^{-1}|\forall g\in G\}$.
称$A_a$为群$G$的元素$a$的共轭类，简称为群的$a$类。
特别地，$\{e\}$自成一类，以及任意Abel群的各元素自成一类。
在$SO(3)$群中，所有绕不同转轴方向，转过同一个$\theta$角的转动全体构成一个类$R(\theta)$. 即$SO(3)$可按共轭类$R(\theta)$分解
$$SO(3)=\cup_\theta R(\theta),\,0\leq \theta<2\pi.$$
另外由子群判定定理($a^{-1}b\in H$)，可知$gHg^{-1}$也是$G$的一个子群。子群$H$与子群$gHg^{-1}$称为互相共轭的。
下面我们介绍最后一种等价关系。
三、 正规子群与商群
由陪集分解结果，我们可以得到商集合$G/H=\{H,a_2H,a_3H,...\}$. 那么现在的问题是，什么条件下商集合构成一个群--商群?
我们知道，对于一个群，首先要定义乘法运算，由于代表元的存在，乘法可以如下定义：
$$a_iH\circ a_jH=(a_i\circ a_j)H$$.
由于这个定义将陪集的乘法转换成代表元的乘法，我们应当证明乘法的结果与代表元的选取无关。
如果我们选取代表元$a_ih_i$,$a_jh_j$，那么
$$a_ih_i H\circ a_jh_j H=(a_ih_ia_jh_j)H$$.
但现在的问题是$(a_ih_ia_jh_j)H$不一定等于$(a_ia_j)H$，所以这个乘法对一般的群来讲并不是良定义的。我们需要找到一类特殊的群，使此乘法良定义。这类群就是正规子群。
定义 若子群$H\subset G$的所有左陪集和右陪集相等，即$a_iH=Ha_i,\,\forall a_i\in G$. 则称$H$是$G$的一个正规子群或不变子群。
注：此定义下，正规子群并不意味着乘法在群中对易。正确的理解应当是$\forall a_i\in G, h_i\in H$，总能找到$h_j\in H$，使得$a_ih_i=h_ja_i$. 但反之，Abel群的所有子群自然为正规子群。
定理2.4 如果以$G$的正规子群$H$的陪集全体为集合，那么$G/H$构成群，称为$G$关于正规子群$H$的商群。此群的乘法就是如上所定义的代表元乘法，即$a_iH\circ a_jH=(a_i\circ a_j)H$。
证明： 首先证明乘法是良定义的。因为正规子群，所以有$h_ia_j=a_jh_k$, $(a_ih_ia_jh_j)H=(a_ia_jh_kh_j)H=(a_ia_j)H$.
下面证明四条公理:
(i) 封闭性 由于商群已包含所有陪集且乘法结果仍然是陪集，故封闭。
(ii) 结合 $(a_iHa_jH)a_kH=(a_ia_ja_k)H=a_iH(a_jHa_kH)$.
(iii) 单位元 单位元就是陪集$eH=H$.
(iV) 逆元 对$aH\in G/H$, 逆元是$a^{-1}H$.
$O(3)$在矩阵乘法下构成群，$SO(3)$是$O(3)$子群，且有陪集分解$O(3)=SO(3)\cup(-E3)SO(3)$. $SO(3)$是正规子群，因此有商群$O(3)/SO(3)=\{E3,-E3\}$.
定义 如果群$G$除了$\{e\}$和$G$以外不存在其他的正规子群，则称$G$为单群。如果$G$除了$\{e\}$外不存在其他的Abel正规子群，称$G$为半单群。
第二章 2.群中的等价关系 -- 陪集，共轭，正规子群与商群
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