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哈哈哈，本菜鸡经过长时间研究，终于略懂的这看似神奇的数位dp。。。
数位dp，顾名思义就是数位+dp，数位即是一个数的每一位上的数字，dp也就是动态规划了。
首先来讲在何时应该想到要用数位dp吧。（相信大部分人都是为了做题而学的）
数位dp的题目一般都是给定一个区间，如[l , r]，然后叫你求在这区间里的数有多少个符合题目给的限制条件（解题时一般都是运用前缀和求解，即[l , r]=[0 , r]-[0 , l-1]。)
其次就是讲解数位dp的原理和模板代码了。（菜鸡的我不知道讲的好不好，尽量从一个初学者的角度来讲解吧。)
1.数位dp的原理。
数位dp是先将你要计算的最大上限按数位（即个、十、百、千，，，）拆分。然后按最高位去遍历每一个数（！！！注意，这里是用数位去遍历0~上限的每一位，其实也就是暴力枚举，不过它加上dp，就可以将时间复杂度降的十分低）。是不是觉得云里雾里，没看懂，没关系，看下面的一个样例你就明白了。
样例：找[35,156]中不包含6的数的个数。
首先将123拆成1、7、6；
这有个位，十位，百位三位。
百位：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
十位：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
个位：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
开始遍历：
百位是：
0（0<1)；
十位是：0（0<7),那就能遍历到000，001，002，003，004，005，006，007，008，009。去掉前导0也就是0~9（在有些题目中是要处理掉前导0的，一般是与0有关的），因为6不符合题目条件，所以0~9有9个符合题目的数（将其记录下来）；
十位是：1（1<7),那就能遍历到010，011，012，013，014，015，016，017，018，019。去掉前导0也就是10~19，因为16不符合题目条件，所以0~9有9。（！！！注意：如果我们按这样一直遍历下去，那不就相当于暴力了，我们这是数位dp，数位已经在上面体现出来了，接下来就是dp上场了，我们在上一步是不是将0~9中符合题目条件的个数找出来了并且记录了它，那用你的聪明的大脑想想，我们在遍历十位上的数时是不是只要将结果搬过来就行？就如现在的十位是1，那结果不就是出去个位为6的数，因此就可以省去很多没必要的遍历）；
十位是：2（2<7)，符合的个数是9（020，021，022，023，024，025，026，027，028，029）；
十位是：3（3<7)，符合的个数是9（030，031，032，033，034，035，036，037，038，039）；
...........4,5;
十位是：6 (6<7), 这里因为十位是6，所以个位是什么都不符合。
...........7,8,9;
1(1==1)
十位是：0，1，2，3，4，5，6；个数是（9，9，9，9，9，9，0）
十位是：7（7==7），！！！注意，因为上限是176，现在遍历到的是17X，这里这个X不能是（0~9）了，所以不能直接将9当作符合的个数，因此要一个一个数的去判断是不是我们要的数（即判断170，171，172，173，174，175，176是不是我们要的数）因此这只有6个；
结束遍历；
答案是9+9+9+9+9+9+0+9+9+9+9+9+9+9+9+9+0+6=ans1；
其次就是将35-1拆成3，4；
因为在遍历0~176是已经遍历了0~29，所以在进行遍历是0~29的符合个数会直接得到是9+9+9，而十位是3时个位只能是0~4，所以总个数是9+9+9+6=ans2；
因此我们的到了答案=ans1-ans2;
这里的数据比较小，但是如果数据是long long的范围，那是不是觉得会比平常的枚举快好多；
好了，样例我们已经讲完了，是不是觉得茅舍顿开，豁然开朗，那我们要怎么去用代码实现呢？接着往下看吧。
2，模板代码讲解
数位dp的实现方法很多，我一般都是喜欢用记忆化搜索实现（好吧，我其实只会用记忆化搜索实现）；
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<string.h> 4 using namespace std; 5 int dp[15][sta];//一维是当前第几位，sta是按题目所设的一种状态（不是必须有，比如上面例题没有也行），这也就是记忆化的数组； 6 int disit[15];//储存拆分的数 7 //***这是模板代码，所以sta不好写，但是没关系，你就把它先忽略，先理清它具体的写法就好了，等看完下面一个模板题你就明白了******** 8 int dfs(int len,......,bool limit) 9 { 10 if(len==0) 11 return 1; 12 if(!limit&&dp[len][sta]!=-1)// 如上例中的176，如果不是百位是1并且十位是7的情况并且dp[len][sta]计算过时，就可直接返回符合个数 13 return dp[len][sta]; 14 int Maxn=(limit?disit[len]:9);//找到可以遍历的最大数 15 int ans=0; 16 for(int i=0;i<=Maxn;i++) 17 { 18 if(.........)//这里可以根据题目加一些限制条件，可进行剪枝，根据题目而定； 19 .......... 20 ............. 21 ans+=dfs(len-1,.....,limit&&i==disit[len]);//limit&&i==disit[len]是判断是否到了不能记忆化搜索的数； 22 //如上例中的176，如果百位是1并且十位是7，那么就只能枚举剩下的数了； 23 } 24 if(!limit) dp[len][sta]=ans;//记忆化，当没有在上样例中的17X时，就可将计算的结果存入dp数组中进行记忆化； 25 return ans; 26 } 27 //****************拆数************ 28 int solve(int x) 29 { 30 int len=0; 31 while(x) 32 { 33 disit[++len]=x%10; 34 x/=10; 35 } 36 return dfs(len,.....,true); 37 } 38 //*******************主函数一般都是这样，是不是超级简单***************** 39 int main() 40 { 41 //memset(dp,-1,sizeof(dp)); 42 int l,r; 43 while(cin>>l>>r) 44 { 45 memset(dp,-1,sizeof(dp));//题目的限制条件在你计算答案时是固定的话，可以把它放外面，这样可以减少时间复杂度。 46 cout<<solve(r)-solve(l-1)<<endl; 47 } 48 return 0; 49 }
1 #include<iostream> 2 #include<string.h> 3 #define LL long long 4 using namespace std; 5 int disit[20]; 6 LL dp[20]; 7 LL dfs(int len,bool limit) 8 { 9 if(!len) return 1; 10 if(!limit&&dp[len]!=-1) return dp[len]; 11 LL ans=0,Maxn=(limit?disit[len]:9); 12 for(int i=0;i<=Maxn;i++) 13 { 14 if(i==6)//当前位是6，则跳出，不搜索 15 continue; 16 ans+=dfs(len-1,limit&&i==Maxn); 17 } 18 if(!limit) dp[len]=ans; 19 return ans; 20 } 21 LL solve(LL x) 22 { 23 memset(disit,0,sizeof(disit)); 24 int len=0; 25 while(x) 26 { 27 disit[++len]=x%10; 28 x/=10; 29 } 30 return dfs(len,true); 31 } 32 int main() 33 { 34 memset(dp,-1,sizeof(dp)); 35 LL l,r; 36 while(cin>>l>>r) 37 { 38 cout<<(solve(r)-solve(l-1))<<endl; 39 } 40 return 0; 41 }
模板题HDU2089 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2089
Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 62447 Accepted Submission(s): 24776
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<string.h> 4 using namespace std; 5 int dp[15][2]; 6 int disit[15]; 7 int dfs(int len,bool sta_6,bool limit)//sta_6是记录上一位是否是6 8 { 9 if(!len) return 1; 10 if(!limit&&dp[len][sta_6]!=-1) return dp[len][sta_6]; 11 int Maxn=(limit?disit[len]:9); 12 int ans=0; 13 for(int i=0;i<=Maxn;i++) 14 { 15 if(i==4) 16 continue; 17 if(sta_6&&i==2) 18 continue; 19 ans+=dfs(len-1,i==6,limit&&i==disit[len]); 20 } 21 if(!limit) dp[len][sta_6]=ans; 22 return ans; 23 } 24 int solve(int x) 25 { 26 int len=0; 27 while(x) 28 { 29 disit[++len]=x%10; 30 x/=10; 31 } 32 return dfs(len,false,true); 33 } 34 int main() 35 { 36 int l,r; 37 memset(dp,-1,sizeof(dp)); 38 while(cin>>l>>r&&l+r) 39 { 40 cout<<solve(r)-solve(l-1)<<endl; 41 } 42 return 0; 43 }
好了，终于讲完了，累死我了，有错的地方还请指正，能看到这的兄弟也不容易，数位dp中的dp是难点，不过多加训练还是能体会到其中的奥妙的，大家可以点进这里，一起训练和进步吧^-^。
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