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真实奥数题
题目大意：给你正整数k$,r$。问你存在多少对$(x,y)$，满足$x<y$且$x^2+y^2=kz^2$，并将所有符合条件的数对输出。
数据范围：$r≤1e9$，$k={1,2,3}$。
我们先考虑$k=1$的情况，显然就是一个求勾股数对数的问。有一种经典的枚举所有$x^2+y^2=z^2$且$(x,y,z)=1$的勾股数对数的式子：
$\begin{cases} x=2nm\\ y=n^2-m^2 \\ z=n^2+m^2 \end{cases}$
证明的话，展开下式子算算就好
我们只需要暴力枚举r的因数进行计算就可以了，时间复杂度$O(r^{\frac{1.066}{\ln\ln\ n}+0.5})$（这个式子是抄来的，证明本蒟蒻不懂，反正是能过的qwq）。
考虑$k=2$的情况，我们参考处理$k=1$的情况，列一组式子，可以枚举所有$x^2+y^2=2z^2$且$(x,y,z)=1$的式子：
$\begin{cases} x=n-m\\ y=n+m \\ z=\sqrt{n^2+m^2} \end{cases}$
证明同上
我们不难发现，这时候求解的关键变为了求$z^2=n^2+m^2$的对数（并将所有方案打出），这不就是第一问吗$qwq$。
我们只需要求出所有的$(n,m)$数对后，简单转化一波就可以了。
考虑k=3的情况，抱歉这个是无解的qwq
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define L long long 3 #define M 10000005 4 using namespace std; 5 6 pair<L,L> p[M]; int cnt=0; 7 8 int solve(L z,L bei){ 9 int res=0; 10 for(L n=1;n*n<=z;n++){ 11 L m=sqrt(z-n*n),x=0,y=0; 12 if(m*m+n*n!=z) continue; 13 x=2*n*m; 14 y=n*n-m*m; 15 if(x==y) continue; 16 if(x>y) swap(x,y); 17 if(x<=0) continue; 18 p[++cnt]=make_pair(x*bei,y*bei); 19 res++; 20 } 21 return res; 22 } 23 24 int main(){ 25 int cas; cin>>cas; 26 while(cas--){ 27 L k,z,ans=0; cin>>k>>z; cnt=0; 28 if(k==3) {printf("0\n"); continue;} 29 for(L i=1;i*i<=z;i++) if(z%i==0){ 30 ans+=solve(i,z/i); 31 if(i*i!=z) ans+=solve(z/i,i); 32 } 33 sort(p+1,p+cnt+1); 34 cnt=unique(p+1,p+cnt+1)-p-1; 35 if(k==2){ 36 for(int i=1;i<=cnt;i++){ 37 p[i]=make_pair(p[i].second-p[i].first,p[i].second+p[i].first); 38 } 39 sort(p+1,p+cnt+1); 40 cnt=unique(p+1,p+cnt+1)-p-1; 41 } 42 printf("%d\n",cnt); 43 for(int i=1;i<=cnt;i++) printf("%d %d\n",p[i].first,p[i].second); 44 45 } 46 }
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原文地址：https://www.cnblogs.com/xiefengze1/p/10353864.html
