[BOI2004]Sequence 数字序列

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PS：参考了黄源河的论文《左偏树的特点及其应用》

题目描述：给定一个整数序列\(a_1, a_2, … , a_n\)，求一个递增序列\(b_1 < b_2 < … < b_n\)，使得序列\(a_i\)和\(b_i\)的各项之差的绝对值之和 \(|a_1 - b_1| + |a_2 - b_2| + … + |a_n - b_n|\) 最小。

不难发现两条性质：

①：若原序列a满足\(a_1 < a_2 < … < a_n\)，显然最优情况为\(b_i=a_i\)

②：若原序列a满足\(a_1 > a_2 > … > a_n\)，显然最优情况为\(b_{mid}=x\)（x为a中位数）

有了上述的两种情况，不难发现，整个a序列是尤一些单调区间组成。

所以我们可以将原序列a拆成若干个单调区间，最后再将答案合并。

那两段区间的答案怎么合并呢？

我们可以重新找一个中位数来合并即可。

不断的找中位数，不难想到这道题，可是那道题是一个一个加入进堆，而现在我们要解决的是将两个堆合并来找中位数，直接上二叉堆合并复杂度为\(O(n)\)，所以不难想到可并堆（这里使用左偏树）。

假设我们已经找到前k个数的最优解，队列中有\(cnt\)段区间，每段区间最优解为\(w_1,w_2,…,w_{cnt}\)，现在要加入\(a_{k+1}\)，并更新队列。

首先把\(a_{k+1}\)加入队尾，令\(w_{cnt+1}=a_{k+1}\)，如果\(w_{cnt}>w_{cnt+1}\)，就将最后两个区间合并，并找出新区间的最优解。重复上述过程，直至满足\(w\)单调递增。

注意：题目要求的是一个递增序列b，可以用减下标来实现（即输入时把每个数都减去对应下标，输出时加上），这样就可以将递增序列转化成不下降序列，这样就可以保证每一段区间的序列b不一样了（原本有很多连续一段区间全是中位数，不能保证递增）。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define il inline
#define re register
#define debug printf("Now is Line : %d\n",__LINE__)
#define file(a) freopen(#a".in","r",stdin);freopen(#a".out","w",stdout)
#define ll long long
#define mod 1000000007
il int read()
{
    re int x=0,f=1;re char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-48,c=getchar();
    return x*f;
}
#define _ 1000006
int n,dis[_],ch[_][2],cnt;
ll a[_],b[_],ans;
struct node{int root,ls,rs,size,val;}e[_];
il int merge(int x,int y)
{
    if(!x||!y) return x+y;
    if(a[x]<a[y]||(a[x]==a[y]&&x>y)) swap(x,y);
    ch[x][1]=merge(ch[x][1],y);
    if(dis[ch[x][0]]<dis[ch[x][1]]) swap(ch[x][0],ch[x][1]);
    dis[x]=dis[ch[x][1]]+1;
    return x;  
}
int main()
{
    n=read(); dis[0]=-1;
    for(re int i=1;i<=n;++i) a[i]=read()-i;
    for(re int i=1;i<=n;++i)
    {
        e[++cnt]=(node){i,i,i,1,a[i]};
        while(cnt>1&&e[cnt].val<e[cnt-1].val)
        {
            --cnt;
            e[cnt].root=merge(e[cnt].root,e[cnt+1].root);
            e[cnt].size+=e[cnt+1].size;
            e[cnt].rs=e[cnt+1].rs;
            while(e[cnt].size*2>e[cnt].rs-e[cnt].ls+2)
            {
                --e[cnt].size;
                e[cnt].root=merge(ch[e[cnt].root][0],ch[e[cnt].root][1]);
            }
            e[cnt].val=a[e[cnt].root];
        }
    }
    for(re int i=1;i<=cnt;++i)
    {
        for(re int j=e[i].ls;j<=e[i].rs;++j)
        {
            b[j]=e[i].val;
            ans+=abs(a[j]-b[j]);
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    for(re int i=1;i<=n;++i) printf("%lld ",b[i]+i);
    return 0;
}

[BOI2004]Sequence 数字序列

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原文地址：https://www.cnblogs.com/bcoier/p/10355646.html