标签：www long spl 表示 运算 logs void frame 结果
如果a*x≡1 (mod p),且gcd(a,p)=1（a与p互质），则称a关于模p的乘法逆元为x。（from Wikipedia）
a*x≡1 (mod p) 表示 a乘一个数x并模p等于1，即 a*x%p=1;看上去就是同余定理的一个简单等式。
而x 为 a 的逆元，记为x=a-1，所以我们也可以称 x 为 a 在mod b意义下的倒数，
什么意思呢？ 可以理解为在x的倒数上加了个限定：
倒数定义为a*x=1，则x为a的倒数；
而逆元为：a*x%p=1;
用处：一般用于求 a/b (mod p) 的值（p 通常为质数），是解决模意义下分数数值的必要手段。
（比如某道水题让你对结果%p，而计算过程中有除法运算。。）
我们知道，a*x≡1 (mod p) 就是 a*x%p=1 也就是 a*x+p*y=1
而扩展欧几里得算法就是用来求线性同余方程a?x≡c ( mod b )，只不过此时c=1；
#include<cstdio> #include<cmath> #define R register int #define ll long long using namespace std; int n,p; void ex_gcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y) { if(!b) x=1,y=0; else ex_gcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x; } int main() { scanf("%d%d",&n,&p); for(R i=1;i<=n;i++) { ll x,y; ex_gcd(a,p,x,y); x=(x%p+p)%p; printf("%d\n",x); } return 0; }
由费马小定理可知：ap-1≡1 （mod p）
所以a*ap-2≡1 (mod p)
即ap-2就是a在mod p意义下的逆元
#include<cstdio> #include<iostream> #include<cmath> #define R register int #define ll long long using namespace std; int n,p; ll q_pow(ll x,ll ind,ll mod) { x%=mod; ll a=1; for(;ind;ind>>=1,(x*=x)%=mod) if(ind&1) (a*=x)%=mod; return a; } int main() { scanf("%d%d",&n,&p); for(R i=1;i<=n;i++) printf("%lld\n",q_pow(i,p-2,p)); return 0; }
原题：P3811 【模板】乘法逆元 https://www.luogu.org/problemnew/show/P3811
求 [1,n] 区间中每个数的逆元，其实这是一种递推。。。
我们设 inv[i] 表示i的逆元,设 p=k*i+r (1<r<i<p) 可得：k*i+r≡0 (mod p) (显然)
则左右同乘 r-1 * i-1 ：k*r-1+i-1≡0 (mod p)
所以：i-1≡ -k*r-1 (mod p);
易知：r-1=inv[p%i]，k=p/i
所以：i-1 = p/i * inv[p%i]
而由逆元定义可知：inv[1]=1 (mod p)，你就可以开始递推了。
#include<cstdio> #include<iostream> #define R register int using namespace std; int n,p; int inv[3000010]; int main() { scanf("%d%d",&n,&p); inv[1]=1;printf("1\n"); if(p>=2) for(R i=2;i<=n;i++) inv[i]=(long long)(p-p/i)*inv[p%i]%p,printf("%d\n",inv[i]);//话说记得用long long寄存，要不就死了。。。 return 0; }
。。。还未学会。。。安利一发zjp_shadow大佬的blog：https://www.cnblogs.com/zjp-shadow/p/7773566.html （写得太好了）
标签：www long spl 表示 运算 logs void frame 结果
原文地址：https://www.cnblogs.com/Jackpei/p/10358563.html
