SDOI2015 约数个数和

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trick1——如何求约数个数和，变形

\[d(ij)=\sum_{u|i}\sum_{v|j}[gcd(u,v)=1]\]

原式

\[=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M\sum_{u|i}\sum_{v|j}[gcd(u,v)=1]\]

\[=\sum_{u=1}^N\sum_{v=1}^M\lfloor\frac{N}{u}\rfloor\lfloor\frac{M}{v}\rfloor[gcd(u,v)=1]\]

\[=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M\lfloor\frac{N}{i}\rfloor\lfloor\frac{M}{j}\rfloor[gcd(i,j)=1]\]

设\(f(x)=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M\lfloor\frac{N}{i}\rfloor\lfloor\frac{M}{j}\rfloor[gcd(i,j)=x]\)$

\[F(x)=\sum_{x|d}f(d)\]

\[F(x)=\sum_{x|d}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M\lfloor\frac{N}{i}\rfloor\lfloor\frac{M}{j}\rfloor[gcd(i,j)=x]\]

trick2——消掉gcd

\[F(x)=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M\lfloor\frac{N}{i}\rfloor\lfloor\frac{M}{j}\rfloor[x|gcd(i,j)]\]

\[=F(x)=\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{N}{x}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{M}{x}\rfloor}\lfloor\frac{N}{ix}\rfloor\lfloor\frac{M}{jx}\rfloor\]

我们需要的是\(f(1)\)

\[f(1)=\sum_{d=1}^{min(N,M)}\mu(d)F(d)\]

\[f(1)=\sum_{d=1}^{min(N,M)}\mu(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{N}{x}\rfloor}\lfloor\frac{N}{ix}\rfloor\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{M}{x}\rfloor}\lfloor\frac{M}{jx}\rfloor\]

trick3——预处理\(\sum_{i=1}^{n}\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)

设\(g[i]=\sum_{x=1}^i\lfloor\frac{i}{x}\rfloor\)

直接数论分块即可。

关于公式的证明：
我没有严格公式化证明——
我们可以发现，其实拼出来的每个数乘上他们的gcd，就是原先的因子，也就是互质形态相乘再乘上gcd的平方。现在需要解决的是这个值原先有没有被计算过，当然这个平方一个分配一个就是我们处理的原数，自然没有被计算过。而两个gcd放在一起乘上其中一个数，又因为我们的i,j的因子都是从小到大枚举的，所以大于当前数的数自然是没有被枚举计算过。
然后严格证明捞了一位大佬的证明如下——

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define MAXN 50010
int T,n,m,cnt;
int mu[MAXN],sum[MAXN],not_prime[MAXN],prime[MAXN];
long long g[MAXN];
inline int min(int x,int y){return x>y?y:x;}
inline void get_mu()
{
    //not_prime[1]=1;
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=50000;i++)
    {
        if(!not_prime[i]){prime[++cnt]=i;mu[i]=-1;}
        for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=50000;j++)
        {
            not_prime[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
            else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=50000;i++) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
    for(int i=1;i<=50000;i++)
    {
        long long cur_ans=0;
        for(int l=1,r;l<=i;l=r+1)
            r=(i/(i/l)),cur_ans+=1ll*(r-l+1)*(i/l);
        g[i]=cur_ans;
    }
}
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("ce.in","r",stdin);
    #endif
    scanf("%d",&T);
    get_mu();
    //for(int i=1;i<=10;i++) printf("%d\n",mu[i]);
    //for(int i=1;i<=10;i++) printf("%d\n",sum[i]);
    while(T--)
    {
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        long long ans=0;
        for(int l=1,r;l<=min(n,m);l=r+1)
        {
            r=min(n/(n/l),m/(m/l));
            ans+=1ll*(sum[r]-sum[l-1])*g[n/l]*g[m/l];
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
}

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