『飞行路线 分层图最短路』

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飞行路线(luoguP4568)

Description

Alice和Bob现在要乘飞机旅行，他们选择了一家相对便宜的航空公司。该航空公司一共在n个城市设有业务，设这些城市分别标记为0到n?1，一共有m种航线，每种航线连接两个城市，并且航线有一定的价格。

Alice和Bob现在要从一个城市沿着航线到达另一个城市，途中可以进行转机。航空公司对他们这次旅行也推出优惠，他们可以免费在最多k种航线上搭乘飞机。那么Alice和Bob这次出行最少花费多少？

Input Format

数据的第一行有三个整数，n,m,k，分别表示城市数，航线数和免费乘坐次数。
第二行有两个整数，s,t，分别表示他们出行的起点城市编号和终点城市编号。
接下来有m行，每行三个整数，a,b,c，表示存在一种航线，能从城市a到达城市b，或从城市b到达城市a，价格为c。

Output Format

只有一行，包含一个整数，为最少花费。

Sample Input

5 6 1
0 4
0 1 5
1 2 5
2 3 5
3 4 5
2 3 3
0 2 100

Sample Output

8

解析

这是一道分层图最短路模板题呢...
那好吧，如果我们将\(k\)次免费搭乘机会无视的话，这就是裸的最短路。那么对于这种情况，我们可以考虑改进最短路算法。类似于\(DP\)的思想，我们将状态加维。
对于\(dis[i][j]\)，我们认为它代表到了节点\(i\)，用了\(j\)次免费搭乘机会的最小花费。那么，在转移时我们就有两种选择：

1. 使用免费搭乘机会
2. 不使用免费搭乘机会

在满足最短路三角形不等式和使用次数不超过\(k\)的前提下，我们对两种情况分别转移即可。
对应的\(vis\)数组，我们也需要开成二维记录访问状态。

事实上，这样的二维数组对应了\(k\)张图，这种模型我们称之为分层图最短路模型。对于这道题，堆优化\(Dijkstra\)即可解决。

在输出答案时，由于不一定\(k\)次机会全部都要使用，我们需要在\(f[end][i]\)中取最小值。

\(Code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=10000+20,M=50000+20,K=10+2;
struct edge{int ver,val;};
struct node
{
    int val,index,cnt;
    bool operator <(const node temp)const
    {
        return this->val<temp.val;
    }
    bool operator >(const node temp)const
    {
        return this->val>temp.val;
    }
};
int n,m,k,begin,end,vis[N][K],dis[N][K],ans=0x3f3f3f3f;
vector< edge > Link[M];
priority_queue< node,vector< node >,greater< node > > Heap;
inline void input(void)
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    scanf("%d%d",&begin,&end);
    begin++;end++;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y,v;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&v);
        x++;y++;
        Link[x].push_back(edge{y,v});
        Link[y].push_back(edge{x,v});
    }
}
inline void dijkstra()
{
    memset(dis,0x3f,sizeof dis);
    dis[begin][0]=0;
    Heap.push(node{0,begin,0});
    while(!Heap.empty())
    {
        node temp=Heap.top();
        Heap.pop();
        if(vis[temp.index][temp.cnt])continue;
        vis[temp.index][temp.cnt]=true;
        for(int i=0;i<Link[temp.index].size();i++)
        {
            edge v=Link[temp.index][i];
            if(temp.cnt<k&&dis[v.ver][temp.cnt+1]>dis[temp.index][temp.cnt])
            {
                dis[v.ver][temp.cnt+1]=dis[temp.index][temp.cnt];
                Heap.push(node{dis[v.ver][temp.cnt+1],v.ver,temp.cnt+1});
            }
            if(dis[v.ver][temp.cnt]>dis[temp.index][temp.cnt]+v.val)
            {
                dis[v.ver][temp.cnt]=dis[temp.index][temp.cnt]+v.val;
                Heap.push(node{dis[v.ver][temp.cnt],v.ver,temp.cnt});
            }
        }
    }
}
int main(void)
{
    input();
    dijkstra();
    for(int i=0;i<=k;i++)ans=min(ans,dis[end][i]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

<后记>