关于Mobius反演

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欧拉函数 \(\varphi\)

\(\varphi(n)=\)表示不超过 \(n\) 且与 \(n\) 互质的正整数的个数
\[\varphi(n)=n\cdot \prod_{i=1}^{s}(1-\frac{1}{p_i})\]
其中 \(n = {p_1}^{\alpha1} \cdot {p_2}^{\alpha2} \cdots {p_s}^{\alpha s} \cdot\) 是 \(n\) 的标准分解。
由此易见 \(\text{Euler}\) 函数是积性函数。

线性求 \(\text{Euler}\) 函数：

#define int long long
int phi[3000005];
int n=3000000;
bool mark[3000005];
int prime[1000005];
int tot;
void getphi()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(mark[i]==false)
        {
            prime[++tot]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=tot;j++)
        {
            if(i*prime[j]>n)
            {
                break;
            }
            mark[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        phi[i]+=phi[i-1];
    }
}

\(\text{Mobius}\)函数 \(\mu(n)\)

\[ \mu(n)= \begin{cases} 1&n=1\\ 0&n\text{ 含有平方因子}\\ (-1)^k&k\text{ 为 }n\text{ 的本质不同质因子个数}\ \end{cases} \]
证明：
\[ \varepsilon(n)= \begin{cases} 1&n=1\\ 0&n\neq 1\ \end{cases} \]

其中 \(\displaystyle\varepsilon(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)\) 即 \(\varepsilon=\mu*1\)

设 \(\displaystyle n=\prod_{i=1}^k{p_i}^{c_i},n‘=\prod_{i=1}^k p_i\)

那么 \(\displaystyle\sum_{d\mid n}\mu(d)=\sum_{d\mid n‘}\mu(d)=\sum_{i=0}^k C_k^i\cdot(-1)^k\)

根据二项式定理，易知该式子的值在 \(k=0\) 即 \(n=1\) 时值为 \(1\) 否则为 \(0\) ，这也同时证明了 \(\displaystyle\sum_{d\mid n}\mu(d)=[n=1]\)

#define int long long
int mu[3000005];
int n=3000000;
bool mark[3000005];
int prime[1000005];
int tot;
void getmu()
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(mark[i]==false)
        {
            prime[++tot]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=tot;j++)
        {
            if(i*prime[j]>n)
            {
                break;
            }
            mark[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
}

\(\text{Dirichlet}\)卷积

\(\text{ID}:\text{ID(i)=i}\)
\(\text{1}:\text{1(i)=1}\)
定义两个数论函数的\(\text{Dirichlet}\)卷积为：
\[(f*g)(n)=\sum_{d|n}({f(d)\times g(\frac{n}{d})}) \]
性质：\(\text{Dirichlet}\)卷积满足交换律和结合律。
单位元：\(\varepsilon\)，\(\varepsilon(n)=[n==1]\)，任何函数卷\(\varepsilon\)都为其本身.
\(1*\mu=\varepsilon\)
\(\mu * \text{ID} = \varphi\)
\(1*\text{ID}=\sigma\)

莫比乌斯反演

公式：设 \(f(n),g(n)\) 为两个数论函数。
如果有
\[ f(n)=\sum_{d\mid n}g(d) \]
那么有
\[ g(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)f(\frac{n}{d}) \]
证明：
原命题等价于：已知 \(f=g*1\) ，证明 \(g=f*\mu\)
显然： \(f*\mu=g*1*\mu= g*\varepsilon=g\) （其中 \(1*\mu=\varepsilon\) ）

柿子简化

\[\sum_{i=1}^{n}{[gcd(i,n)==d]} \]
\[\ \ \ \ \ = \sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}{[gcd(i,\frac{n}{d})==1]}\]
\[=\varphi(\frac{n}{d}) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \]

关于Mobius反演

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原文地址：https://www.cnblogs.com/wasa855/p/10380825.html