向量空间

标签：子集   for   strong   time   并且   class   结合   lam   最大   

向量空间\(V\)定义：对于任意\(x,y \in V\)，\(\alpha, \beta\in R\)or\(C\),满足\(\alpha x +\beta y \in V\).
子空间\(L\)的定义：线性空间的子集\(L\subset V\)，对于任意\(x,y\in L\)，\(\alpha, \beta \in R\)，满足\(\alpha x + \beta y \in L\).
令\(\alpha = -\beta, x = y\)可得，\(0\in L\). \(\{0\}\)称为零子空间，零子空间和其自身成为平凡子空间，与之对应的是非平凡子空间.
设\(A\)是\(m\times n(m < n)\)的矩阵，\(L=\{x: Ax = 0\}\in R^n\)为矩阵\(A\)的零空间. 零空间是子空间。

子空间组的交是子空间。

张成空间：对于任意集合\(S\)，对\(\forall x_i \in S, i = 1,...,r,\alpha_i \in R\)，所有线性组合\(\alpha_1 x_1+...+\alpha_r x_i\)的集合，记为span{\(S\)}.也成为\(S\)的线性包，张成空间也是子空间。
两个线性子空间的并一般不是线性空间
和：设\(V_1,V_2\)是线性空间\(V\)的子空间，则集合\(W=\{x+y: x\in V_1,y \in V_2\}\)也是一个线性子空间,称为\(V_1\)与\(V_2\)的和，记为\(V_1+V_2\).和是包含这些子空间的最小子空间。和满足交换律和结合律。
直和：\(V\)的线性子空间的和\(V_1+...+V_r\)中每个向量\(x\)的分解\(x = \sum_{i=1}^r x_i, x_i\in V_i\)唯一，则称和为直和，直和等价于分解唯一性。
线性相关：如果存在不全为零的\(\lambda_1 ,...,\lambda_r\)，使得\(\lambda_1 r_1 +,...,+\lambda_2 r_2=0\)成立，则称向量组\(x1,...,x_r\)线性相关，否则称为线性无关。
如果\(x_1,...,x_r\)线性相关，则其中必存在一个向量线性依赖于其他向量。
如果\(\{y_i\}\)线性无关，\(\{y_i,x\}\)线性相关，则\(x\)线性依赖于\(\{y_i\}\)。
基：如果\(x_1,...,x_r\)线性无关，并且\(span\{x_1,...,x_r\}=V\)，则称\(\{x_i\}\)为V的基. V中任意向量都可以用基唯一表示，称这种表示的系数\(\lambda_i\)为坐标。
\(R^{2\times 2}\)上的基为
$\begin{bmatrix}
1&0\
0&0
\end{bmatrix}
$
$\begin{bmatrix}
0&1\
0&0
\end{bmatrix}
$
$\begin{bmatrix}
0&0\
1&0
\end{bmatrix}
$
$\begin{bmatrix}
0&0\
0&1
\end{bmatrix}
$
有限个向量张成的空间称为有限维空间，否则称为无限维空间
每个有限维向量空间都有包含基。

若V是一个有限维向量空间，则：

1. V中任何两组基所含元素的维数相同
   下面关于V的有限子集S的陈述是等价的：
2. S是V的一个集
3. S是V的最小张成子集
4. S是V中最大的线性独立子集
   V中任何独立线性组可以通过加入向量扩展成基
   维数 ：V中一组基所含的向量的个数称为V的维数，记为\(dim V\)
   子空间的任意基可以扩展为线性空间的基
   补：线性子空间\(K\oplus M = V\)，则称M为K的补

向量空间

标签：子集   for   strong   time   并且   class   结合   lam   最大   

原文地址：https://www.cnblogs.com/tunzha/p/10421408.html