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考虑分治处理这个问题，每次取一个\(mid\)，对于\(mid\)上的三个点构建最短路径树(因为保证了最短路唯一所以是树)。
如果两点之间的最短路径跨越了\(mid\)，那么必定有\(dis[u]+dis[v]\)的和就是最短路径长度。
那么我们在分治过程中考虑每一个\(mid\)，取其中\(dis[u]+dis[v]\)的最小值，这样子就很容易可以找到最短路径长度。
然后知道了最短路径长度怎么找到最短路径呢？
我们已经把最短路径树给构出来了，那么只需要在必定跨越的\(mid\)的最短路径树上做修改就好了。
如果直接链加再单点询问，这样子是两个\(log\)的，改成单点修改，子树求和就可以做到一个\(log\)了。
这样子分治+对于每个最短路径树计算答案，复杂度是\(O(nlog^2n)\)，似乎还有一个\(3\)的常数。
c++11真好用，写着写着就跟zsy代码一样了（大雾
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAX 300300
#define pi pair<ll,int>
#define fr first
#define sd second
#define mp make_pair
#define pb push_back
inline ll read()
{
ll x=0;bool t=false;char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return t?-x:x;
}
vector<pi> E[MAX];
int n,m,Q;
int id[MAX][3],tot;
int lb(int x){return x&(-x);}
struct SPT
{
ll dis[MAX],c[MAX];int fa[MAX],dfn[MAX],low[MAX],tim;
bool vis[MAX];
vector<int> son[MAX];
priority_queue<pi,vector<pi>,greater<pi> >Q;
void dfs(int u){dfn[u]=++tim;for(int v:son[u])dfs(v);low[u]=tim;}
void Modify(int x,ll w){x=dfn[x];while(x<=tim)c[x]+=w,x+=lb(x);}
ll Query(int x)
{
ll ret=0;int X;
X=low[x];while(X)ret+=c[X],X-=lb(X);
X=dfn[x]-1;while(X)ret-=c[X],X-=lb(X);
return ret;
}
void Dijkstra(int l,int r,int S)
{
for(int i=l;i<=r;++i)dis[i]=1e18,vis[i]=false;
dis[S]=0;Q.push(mp(dis[S],S));
while(!Q.empty())
{
int u=Q.top().sd;Q.pop();
if(vis[u])continue;vis[u]=true;
for(pi x:E[u])
{
int v=x.sd;ll w=x.fr;
if(v<l||v>r||dis[v]<=dis[u]+w)continue;
dis[v]=dis[u]+w;fa[v]=u;Q.push(mp(dis[v],v));
}
}
for(int i=l;i<=r;++i)if(i!=S)son[fa[i]].pb(i);
dfs(S);
}
}T[18][3];
void Build(int l,int r,int dep)
{
int mid=(l+r)>>1;
for(int i=0;i<n;++i)
T[dep][i].Dijkstra(id[l][0],id[r][n-1],id[mid][i]);
if(l<mid)Build(l,mid-1,dep+1);
if(r>mid)Build(mid+1,r,dep+1);
}
ll mx;
void Calc(int l,int r,int dep,int x,int y)
{
int mid=(l+r)>>1;
for(int i=0;i<n;++i)
mx=min(mx,T[dep][i].dis[x]+T[dep][i].dis[y]);
if(x<=id[mid][n-1]&&y>=id[mid][0])return;
if(y<id[mid][0])Calc(l,mid-1,dep+1,x,y);
else Calc(mid+1,r,dep+1,x,y);
}
void Modify(int l,int r,int dep,int x,int y,ll w)
{
int mid=(l+r)>>1;
for(int i=0;i<n;++i)
if(T[dep][i].dis[x]+T[dep][i].dis[y]==mx)
{
T[dep][i].Modify(x,w),T[dep][i].Modify(y,w);
return;
}
if(y<id[mid][0])Modify(l,mid-1,dep+1,x,y,w);
else Modify(mid+1,r,dep+1,x,y,w);
}
ll Query(int l,int r,int dep,int u)
{
int mid=(l+r)>>1;ll ret=0;
for(int i=0;i<n;++i)
{
ll s=T[dep][i].Query(u);
if(id[mid][i]==u)s>>=1;
ret+=s;
}
if(u<id[mid][0])ret+=Query(l,mid-1,dep+1,u);
if(u>id[mid][n-1])ret+=Query(mid+1,r,dep+1,u);
return ret;
}
int main()
{
n=read();m=read();Q=read();
for(int i=0;i<m;++i)
for(int j=0;j<n;++j)id[i][j]=++tot;
for(int i=0;i<n-1;++i)
for(int j=0;j<m;++j)
{
int u=id[j][i],v=id[j][i+1];ll w=read();
E[u].pb(mp(w,v));E[v].pb(mp(w,u));
}
for(int i=0;i<n;++i)
for(int j=0;j<m-1;++j)
{
int u=id[j][i],v=id[j+1][i];ll w=read();
E[u].pb(mp(w,v));E[v].pb(mp(w,u));
}
Build(0,m-1,0);
while(Q--)
{
int opt=read();
if(opt==1)
{
int x1=read()-1,y1=read()-1,x2=read()-1,y2=read()-1;ll w=read();
int u=id[y1][x1],v=id[y2][x2];if(u>v)swap(u,v);
mx=1e18;Calc(0,m-1,0,u,v);
Modify(0,m-1,0,u,v,w);
}
else
{
int x=read()-1,y=read()-1,u=id[y][x];
printf("%lld\n",Query(0,m-1,0,u));
}
}
return 0;
}【CodeChef】Querying on a Grid（分治，最短路）
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原文地址：https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/10457420.html
