UOJ #62 怎样跑得更快

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UOJ #62 怎样跑得更快

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题意

大力水手问禅师：“大师，我觉得我光有力气是不够的。比如我吃菠菜可以让力气更大，但是却没有提升跑步的速度。请问怎样才能跑得更快？我试过吃白菜，没有效果。”

禅师浅笑，答：“方法很简单，不过若想我教你，你先看看这道\(UOJ\) \(Round\)的\(C\)题。”

令 \(p=998244353\)（\(7×17×223+17×17×223+1\)，一个质数。

给你整数 \(n,c,d\)。现在有整数\(x_1,…,x_n\)和\(b_1,…,b_n\)满足\(0≤x_1,…,x_n,b_1,…,b_n<p\)，且对于 \(1≤i≤n\) 满足：

\[\sum_{j=1}^n gcd(i,j)^c*lcm(i,j)^d*x_j \equiv b_i(mod \ \ p) \]
其中 \(v≡u(mod\ \ p)\) 表示 \(v\) 和 \(u\) 除以 \(p\) 的余数相等。\(gcd(i,j)\) 表示 \(i\) 和 \(j\) 的最大公约数，\(lcm(i,j)\) 表示 \(i\) 和 \(j\) 的最小公倍数。

有 \(q\) 个询问，每次给出 \(b_1,…,b_n\)，请你解出 \(x_1,…,x_n\) 的值。

题解

大力莫比乌斯反演……
直接上公式（为了方便书写，我们将\(mod \ \ p\)省略）:
\[sum_{j= 1 } ^ n gcd(i, j) ^ c * lcm(i, j) ^ d * x_j = b_i\]
\[\sum_{j = 1} ^ n gcd(i, j) ^ c * \frac{i ^ d * j ^ d}{gcd(i, j) ^ d} * x_j = b_i \]
我们记\(f(n) = n^{c - d},\ \ h(n) = n ^ d\)。
\[\sum_{j=1}^n f(gcd(i,j))*h(j)*x_j = \frac{b_i}{h(i)}\]
这个地方我们发现\(gcd(i,j)^{c-d}\)比较的难以处理，但是假设我们知道了一个函数\(f_r(n)\)，满足\(f(n) = \sum_{d | n}f_r(d)\)，那么在知道了\(f(n)\)之后，求\(f_r(n)\)是很好求的，只需要一次莫比乌斯反演就行了。
于是原式变成了这样:
\[\sum_{j = 1} ^ n \sum_{d | gcd(i,j)} f_r(d) * h(j) * x_j \equiv \frac{b_i}{h(i)} (mod \ \ p)\]
为了简洁一点，我们记\(B(i) = \frac{b_i}{h(i)}\)。

\[\sum_{j = 1} ^ n \sum_{d | gcd(i,j)} f_r(d) * h(j) * x_j = B(i)\]
移一下项
\[\sum_{d | i} f_r(d) \sum_{d | j} h(j) * x_j = B(i) \]
考虑到\(\sum_{d | j} h(j) * x_j\)这一项是求所有是\(d\)的倍数的\(h(j)*x_j\)的值，这个值只和\(d\)有关。所以我们可以记\(A(d) = \sum_{d | j} h(j) * x_j\)

所以原式继续简化:

\[\sum_{d | i} f_r(d) * A(d) = B(i)\]
这样其实就可以进行第二次莫比乌斯反演了……为；为了看起来更清楚一些，我们再记\(F(d) = f_r(d) * A(d)\)
那么这个莫比乌斯反演就很清楚了:
\[\sum_{d | i} F(d) = B(i) \]
反演一下可得:
\[F(i) = \sum_{d | i}\mu(d) B(\frac{i}{d})\]
然后我们将\(F(n)\)展开可得:\(f_r(d) * A(d) = F(n)\) 即\(A(d) = \frac{F(n)}{f_r(d)}\)
继续讲\(A(n)\)展开可得:\(\sum_{n | j} h(j) * x_j = A(n)\)，再来一次莫比乌斯反演，可以得到:\(h(j) * x_j = \sum_{n | j} \mu(\frac{j}{n})* A(j)\)。这样就可以轻松求得\(x_j\)的值，无解多解什么的中间除法的时候判一下就行了。

Code

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Md=998244353;
const int N=3e5+500;
typedef long long ll;

inline int Add(const int &x,const int &y) {return (x+y)>=Md?(x+y-Md):(x+y);}
inline int Sub(const int &x,const int &y) {return (x-y)<0?(x-y+Md):(x-y);}
inline int Mul(const int &x,const int &y) {return (ll)x*y%Md;}
inline int Chg(int x) {int X=x;while(X<0) X+=Md;while(X>=Md) X-=Md;return X;}
int Powe(int x,int y) {
  int ans=1;
  while(y) {
    if(y&1) ans=Mul(ans,x);
    x=Mul(x,x);
    y>>=1;
  }
  return ans;
}
inline int Div(const int &x,const int &y) {return Mul(x,Powe(y,Md-2));}

void read(int &x) {
  x=0;int f=1;char ch=getchar();
  while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
  x*=f;
}

void read(ll &x) {
  x=0;int f=1;char ch=getchar();
  while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
  x*=f;
}

int n,q,c,d,cnt;
int b[N],F[N],mu[N],pri[N],ntp[N],f[N],A[N],g[N],Iv1[N],Iv2[N],H[N];

void Init() {
  mu[1]=1;
  for(int i=2;i<N;i++) {
    if(!ntp[i]) mu[i]=-1,pri[++cnt]=i;
    for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++) {
      ntp[i*pri[j]]=1;
      if(i%pri[j]==0) {
        mu[i*pri[j]]=0;
        break;
      }
      else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
    }
  }
}

int main() {
  Init();
  read(n);read(c);read(d);read(q);
  for(int i=1;i<=n;i++) {
    f[i]=Powe(i,c>=d?(c-d):(c-d+Md-1)%(Md-1));
    g[i]=Powe(i,d);
    Iv1[i]=Powe(g[i],Md-2);
  }
  for(int i=1;i<=n;i++) {
    for(int j=i*2;j<=n;j+=i) {
      f[j]=Sub(f[j],f[i]);
    }
  }
  for(int i=1;i<=n;i++) Iv2[i]=Powe(f[i],Md-2);
  while(q--) {
    for(int i=1;i<=n;i++) read(b[i]),b[i]=Mul(b[i],Iv1[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) F[i]=H[i]=A[i]=0; 
    for(int i=1;i<=n;i++) {
      for(int j=i;j<=n;j+=i) {
        F[j]=Add(F[j],Mul(Chg(mu[j/i]),b[i]));
      }
    }
    bool fl=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
      if(Iv2[i]) A[i]=Mul(F[i],Iv2[i]);
      else if(F[i]) {
        fl=0;
        puts("-1");
        break;
      }
    }
    if(!fl) continue;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
      for(int j=i;j<=n;j+=i) {
        H[i]=Add(H[i],Mul(Chg(mu[j/i]),A[j]));
      }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) {
      if(g[i]==0) {
        if(H[i]==0) b[i]=1;
        else {
          fl=0;
          puts("-1");
          break;
        }
      }
      else b[i]=Mul(H[i],Iv1[i]);
    }
    if(fl) {
      for(int i=1;i<=n;i++) {
        printf("%d%c",b[i]," \n"[i==n]);
      }
    }
  }
  return 0;
}

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