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斐波那契数列

时间:2019-03-11 13:12:36      阅读:153      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:直接   等于   justify   n+1   二次   使用数组   应用   现在   9.png   

斐波那契数列如下:

    1,2,3,5,8,13,21,34,……

    如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N*),那么这句话可以写成如下形式:

    F(n)=F(n-1)+F(n-2)

通项公式如下:

    技术图片

 

递归实现:

    直接按照递推公式实现,

    由通项公式可以得到:当n趋近于无穷大时

              技术图片

    由于T(n)≥F(n),这是一个指数阶的算法

    如果我们今年计算出了F(100),那么明年才能算出F(101),

    爆炸增量函数是算法设计的噩梦。

1 int fib(int n)
2 {
3     if( n < 1)
4         return -1;
5     if( n == 1 || n == 2)
6         return 1;
7     return fib( n-1) + fib( n-2);
8 }

 数组优化:

    既然斐波那契数列中的每一项是前两项之和,如果记录前两项的值,只需

    要一次加法运算就可以得到当前项,那么可以使用数组。复杂度为O(n)。

 1 int fib( int n)
 2 {
 3     if( n < 1)
 4         return -1;
 5     int *a = new int [n];
 6     a[1] = a[2] = 1;
 7     for( int i = 3; i <= n; i++)
 8         a[i] = a[i-1]+a[i-2];
 9     return a[n];
10 }

 迭代法:

    其实只需要得到第n个斐波那契数,中间结果只是为了下一次使用,不需要

    记录,因此可以采用迭代法进行设计。使用若干辅助变量,迭代辗转相

    加,每次记录前一项,时间复杂度为O(n),空间复杂度降到O(1)。

 1 int fib( int n)
 2 {
 3     int i, s1, s2;
 4     if( n < 1)
 5         return -1;
 6     if( n == 1 || n == 2)
 7         return 1;
 8     s1 = s2 = 1;
 9     for( i = 3; i <= n; i++)
10     {
11         s2 = s1+s2;
12         s1 = s2-s1;
13     }
14     return s2;
15 }

对数阶:

    实质上,斐波那契数列时间复杂度还可以进一步降低到对数阶O(logn)。

    我们每次递归都将a+b的值赋给a,把a的值赋给b,通过观察可以发现,从1和

    0开始将规则反复应用n次,将产生一对数fib(n)和fib(n+1),

    现在将这种规则看成a = bq + aq + a*pb = bp + aq,其中p=0,q=1。把这种变

    换称为T变换,Tpq 变换有个特性是 :

    Tpq 的二次方等于Tp‘q‘, p‘ = pp + qq‘q‘ = 2pq + q*q。

    即:a = (bp+aq)p+(bq+aq+ap)q+(bq+aq+ap)p

         = b(2pq+q^2)+a(p^2+2pq+2q^2)

      b = (bp+aq)p+(bq+aq+ap)q = b(p^2+q^2)+a(q^2+2pq)
    此处p=0,q=1

 1 int fib_iter( int a, int b, int count)
 2 {
 3     if( count == 0)
 4         return b;
 5     return fib_iter( a+b, a, count-1);
 6 }
 7 int fib( int n)
 8 {
 9     return fib_iter( 1, 0, n);
10 }

 

斐波那契数列

标签:直接   等于   justify   n+1   二次   使用数组   应用   现在   9.png   

原文地址:https://www.cnblogs.com/yizhaosan/p/10509919.html

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