快速傅里叶变换FFT

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前言

听说FFT是个很有用的东西，于是本菜鸡就去背了模板尝试着看了一下。这里写下菜鸡版教程。

卷积

FFT主要用于求卷积。然而卷积是什么？

如果\(f\)是一个\(n\)次多项式，\(g\)是\(m\)次多项式，那么它们的卷积
\[ h(x)=f(x)g(x)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^mf_ig_jx^{i+j}=\sum_{i=0}^{n+m}\sum_{j=0}^if_{i-j}g_jx^i \]
我们冷静分析一波，发现这就是个多项式乘法……

一般情况下，求卷积的时间复杂度是\(O(n^2)\)的。我们尝试加速这一过程。

点值表达与离散傅里叶变换

一般的，一个多项式可以表示为
\[ A(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n \]
这叫系数表示。

而一个\(n\)次多项式可以由\(n+1\)个互不相同的\((x,A(x))\)唯一确定，其中
\[ A(x)=\{(x_0,A(x_0)),(x_1,A(x_1)),...,(x_n,A(x_n))\} \]
叫做点值表示。

然后我们发现，点值表达有一个非常厉害的地方（\(A\)是\(n\)次多项式，\(B\)是\(m\)次多项式）：
\[ A(x)=\{(x_0,A(x_0)),(x_1,A(x_1)),...,(x_{n+m},A(x_{n+m}))\}\B(x)=\{(x_0,B(x_0)),(x_1,B(x_1)),...,(x_{n+m},B(x_{n+m}))\}\A(x)B(x)=\{(x_0,A(x_0)B(x_0)),(x_1,A(x_1)B(x_1)),...,(x_{n+m},A(x_{n+m})B(x_{n+m}))\}\\]
也就是说，我们可以在\(O(n)\)的时间内求出两个点值表达式相乘的结果！这可比先前的\(O(n^2)\)快了不少。

于是我们就想利用点值表达的这一特性来加速卷积过程。思路也很明显了：先将系数表示通过离散傅里叶变换（DFT）变成点值表示，求出乘积后，通过逆离散傅里叶变换（IDFT）转回系数表示。但是怎么进行DFT和IDFT呢？现在看来都是\(O(n^2)\)的……（IDFT通过拉格朗日插值实现，高斯消元是\(O(n^3)\)的）

单位复根

DFT的过程能降到\(O(n\log n)\)全靠单位复根。

\(n\)次单位复根是\(n\)个互不相同的\(\omega^n=1\)的复数。它们在复平面中的位置恰好将单位圆\(n\)等分。它们分别是\(\omega_n^t=\cos \frac{2\pi t}{n}+i\sin\frac{2\pi t}{n}\)，\(t=0,1,...,n-1\)。

\(n=8\)时差不多长这样：

结合图像，我们能得到一些显而易见的性质：
\[ \omega_{kn}^{ki}=\omega_n^i\\omega_n^i=-\omega_n^{i+\frac{n}{2}} \]
然后我们就可以尝试DFT了。

DFT

接下来，我们令\(A\)是一个\(n\)次多项式，\(\deg A=n+1\)。不妨将\(\deg A\)扩充到\(2\)的幂次。

要将\(A\)转成点值表示，我们需要取\(\deg A\)个值。

现在，我们要求\(\overrightarrow{y}=(A(\omega_n^0),A(\omega_n^1),...,A(\omega_n^{n-1}))^T\)。

令\(A(x)=A^{[0]}(x^2)+xA^{[1]}(x^2)\)（奇偶次项分开），我们可以得到：
\[ A(\omega_n^i)=A^{[0]}(\omega_n^{2i})+\omega_n^iA^{[1]}(\omega_n^{2i})=A^{[0]}(\omega_{\frac{n}{2}}^i)+\omega_n^iA^{[1]}(\omega_{\frac{n}{2}}^i)\A(\omega_n^{i+\frac{n}{2}})=A(-\omega_n^i)=A^{[0]}(\omega_{\frac{n}{2}}^i)-\omega_n^iA^{[1]}(\omega_{\frac{n}{2}}^i) \]
所以求出
\[ \overrightarrow{y^{[0]}}=(A^{[0]}(\omega_{\frac{n}{2}}^0),A^{[0]}(\omega_{\frac{n}{2}}^1),...,A^{[0]}(\omega_{\frac{n}{2}}^{\frac{n}{2} - 1}))\\overrightarrow{y^{[1]}}=(A^{[1]}(\omega_{\frac{n}{2}}^0),A^{[1]}(\omega_{\frac{n}{2}}^1),...,A^{[1]}(\omega_{\frac{n}{2}}^{\frac{n}{2} - 1}))\\omega_n^i \]
后就可以在\(O(n)\)时间内求出\(\overrightarrow{y}\)。这样的时间复杂度是\(O(n\log n)\)的。

IDFT

有了\(\overrightarrow{y}\)，求\(A\)的过程叫IDFT。我们现在令\(A\)的系数组成向量\(\overrightarrow a\)。

该过程即解方程
\[ \begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & \omega_n^0 &... & (\omega_n^0)^{n-1} \1 & \omega_n^1 &... & (\omega_n^1)^{n-1} \ & & ... & \1 & \omega_n^{n-1} & ... & (\omega_n^{n-1})^{n-1} \end{pmatrix} \times \overrightarrow{a}=\overrightarrow{y} \end{aligned} \]
左边的系数矩阵是\(n\)阶的范德蒙德矩阵\(V_n\)。现在我们尝试求出\(\overrightarrow{a}=V_n^{-1}\overrightarrow {y}\)。

我们构造
\[ D_n=\begin{pmatrix} 1 & (\omega_n^{0})^1 & ... & (\omega_n^{0})^{n-1}\1 & (\omega_n^{-1})^1 & ... & (\omega_n^{-1})^{n-1}\& & ... & \1 & (\omega_n^{-n+1})^1 & ... & (\omega_n^{-n+1})^{n-1} \end{pmatrix} \]
那么
\[ (D_nV_n)_{i,j}=\sum_{k=0}^{n-1}D_{i,k}V_{k,j}=\sum_{k=0}^{n-1}(\omega_n^{-i})^k(\omega_n^k)^j=\sum_{k=0}^{n-1}\omega_n^{k(j-i)} \]
而由于\(j-i\in\{-n+1,n-1\}\)，所以当\(i=j\)时，\((D_nV_n)_{i,j}=n\)，否则\((D_nV_n)_{i,j}=\frac{1-(\omega_n^{j-i})^n}{1-\omega_n^{j-i}}=0\)。

也就是说
\[ D_nV_n=nI_n \]
所以
\[ V_n\overrightarrow{a}=\overrightarrow{y}\\Rightarrow\frac{1}{n}D_nV_n\overrightarrow{a}=\frac{1}{n}D_n\overrightarrow{y}\\Rightarrow\overrightarrow{a}=\frac{1}{n}D_n\overrightarrow{y} \]
而我们发现DFT的过程实际上就是求
\[ \overrightarrow{y}=V_n\overrightarrow{a} \]
所以只需要把DFT时\(V_n\)中的\(\omega_n^i\)换成\(\omega_n^{-i}\)即可(取虚部为相反数)。最后别忘了乘上\(\frac{1}{n}\)。

到此为止，已经可以写出递归版的FFT了。不过递归版的FFT常数比较大。我们来看进一步的优化：

蝴蝶操作

DFT时，我们要将系数奇偶分开。考虑递归过程中系数的变化：
\[ \begin{matrix} 0&1&2&3&4&5&6&7\0&2&4&6&1&3&5&7\0&4&2&6&1&5&3&7 \end{matrix} \]

\[ \begin{matrix} 000&001&010&011&100&101&110&111\0&1&2 &3&4&5&6&7\\0&4&2&6&1&5&3&7\000&100&010&110&001&101&011&111 \end{matrix} \]

发现什么了吧。

我们可以先将系数放到对应的位置，然后从下往上一步步合并就可以了。

参考代码

题目链接

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define LD long double
using namespace std;

const int Maxn = 4000010;
const LD Pi = 3.14159265358979323846264;
struct myComplex {
    LD real, imag;
    myComplex operator + ( const myComplex Other ) const {
        return ( myComplex ) { real + Other.real, imag + Other.imag };
    }
    myComplex operator - ( const myComplex Other ) const {
        return ( myComplex ) { real - Other.real, imag - Other.imag };
    }
    myComplex operator * ( const myComplex Other ) const {
        return ( myComplex ) { real * Other.real - imag * Other.imag, real * Other.imag + imag * Other.real };
    }
};
int n, m, TotalLen, N;
int Index[ Maxn ];
myComplex omega[ Maxn ], A[ Maxn ], B[ Maxn ];

void FFT( myComplex *A ) {
    for( int i = 0; i < N; ++i ) 
        if( i < Index[ i ] ) 
            swap( A[ i ], A[ Index[ i ] ] );
    for( int HalfLen = 1; HalfLen < N; HalfLen <<= 1 ) 
        for( int i = 0; i < N; i += HalfLen << 1 )
            for( int j = 0; j < HalfLen; ++j ) {
                myComplex t = omega[ ( N / HalfLen / 2 ) * j ] * A[ i + j + HalfLen ];
                myComplex T = A[ i + j ];
                A[ i + j ] = T + t;
                A[ i + j + HalfLen ] = T - t;
            }
    return;
}

int main() {
    scanf( "%d%d", &n, &m );
    ++n; ++m; TotalLen = n + m - 1;
    for( int i = 0; i < n; ++i ) scanf( "%Lf", &A[ i ].real );
    for( int i = 0; i < m; ++i ) scanf( "%Lf", &B[ i ].real );
    for( N = 1; N <= TotalLen; N <<= 1 );
    for( int i = 0; i < N; ++i ) 
        Index[ i ] = ( Index[ i >> 1 ] >> 1 ) | ( ( i & 1 ) * N / 2 );
    for( int i = 0; i < N; ++i ) 
        omega[ i ] = ( myComplex ) { cos( 2.0 * Pi * i / N ), sin( 2.0 * Pi * i / N ) };
    FFT( A ); FFT( B );
    for( int i = 0; i < N; ++i ) A[ i ] = A[ i ] * B[ i ];
    for( int i = 0; i < N; ++i ) omega[ i ].imag = -omega[ i ].imag;
    FFT( A );
    for( int i = 0; i < TotalLen; ++i ) printf( "%d ", ( int ) ( A[ i ].real / N + 0.5 ) );
    printf( "\n" );
    return 0;
}

快速傅里叶变换FFT

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原文地址：https://www.cnblogs.com/chy-2003/p/10512778.html