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判断素数的方法

时间:2014-05-14 18:05:31      阅读:363      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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判断n是否为素数

1、最简单的方法:
用n除以2~sqrt(n),有一个能除尽就不是素数,否则是素数。
时间复杂度:O(sqrt(n))

为什么是sqrt(n),n的开方呢?

假设n是个合数,它必然可以由两个数a,b相乘而得到,即a*b = n。在这两个数中,如果a>sqrt(n), 则b<sqrt(n),同理b>sqrt(n), 则a<sqrt(n),若a=b即为a,b中最小的那个数的值最大的情况,a*a=n, 即a=sqrt(n)。

所以可以证明 :如果我们要判断一个数n是素数还是合数,只需要判断n能否被2~sqrt(n)中的任何一个数整除即可。 能整除为合数,不能为素数。

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int is_prime1(int n)
{
    if(n % 2 == 0)
        return 0;

    for(int i=3;i<=sqrt((double)n);i+=2)
        if(n % i == 0)
            return 0;

    return 1;
}
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素数判断法:
这种方法是对上面方法的改进,上面方法是对2-sqrt(n)之间的数进行判断是否能除尽,而因为有如下算术基本定理,可以减少判断量。
算术基本定理:又称为素数的唯一分解定理,即:每个大于1的自然数均可写为素数的积,而且这些素因子按大小排列之后,写法仅有一种方式。

例如:6936 = 2^3×3×17^2,1200 = 2^4×3×5^2。
由算术基本定理知,任何合数都可分解为一些素数的乘积,所以判断一个数能不能被2-sqrt(n)之间的素数整除即可。但是必须知道2-sqrt(n)之间的所有素数。

这个方法我们必须先计算出一定范围内的素数存表,供查询, 例如判断10000以内的数,我们只需要存储sqrt(10000) = 100以内的素数就可以了。

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int is_prime2(int n)
{
    int i;
    for(i=0;i<25;i++)  //100以内的素数共有25个
        if(n % prime100[i] == 0)
            return 0;
    return 1;
}
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筛选法:
这种方法可以找出一定范围内的所有的素数。
思路是,要求10000以内的所有素数,把1-10000这些数都列出来,1不是素数,划掉;2是素数,所有2的倍数都不是素数,划掉;取出下一个幸存的数,划掉它的所有倍数;直到所有幸存的数的倍数都被坏掉为止。

要找出10000以为的所有的素数,则需要一个大小为10000的数组,将其所有元素设置为未标记
首先把1设置为标记,从2开始,标记所有是它倍数的数,然后对下一个没有标记的数进行标记它的倍数。
当标记完成后,所有未标记的数即为素数。

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int a[10000];
void create_table() { int i, tmp; memset(a, 0, sizeof(a)); a[0] = 1; a[1] = 1; for(i=2;i<10000;i++) { if(!a[i]) { tmp = i*2;; while(tmp < 10000) { a[tmp] = 1; tmp += i; } } } }
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判断素数的方法

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