focal loss for multi-class classification

Focal loss 出自何恺明团队Focal Loss for Dense Object Detection一文，用于解决分类问题中数据类别不平衡以及判别难易程度差别的问题。文章中因用于目标检测区分前景和背景的二分类问题，公式以二分类问题为例。项目需要，解决Focal loss在多分类上的实现，用此博客以记录过程中的疑惑、细节和个人理解，Keras实现代码链接放在最后。

框架：Keras（tensorflow后端）
环境：ubuntu16.04 python3.5

二分类和多分类

从初学开始就一直难以分清二分类和多分类在loss上的区别，虽然明白二分类其实是多分类的一个特殊情况，但在看Focal loss文章中的公式的时候还是不免头晕，之前不愿处理的细节如今不得不仔细从很基础的地方开始解读。

多分类Cross Entropy：
H(y,y′)=?∑y′ilogyi$H(y,y^{\prime })=?\sum y_i^{\prime }log{y}_i$

二分类Cross Entropy：
H(y,y′)=?∑1i=0y′ilogyi=?(y′0?logy0+y′1?logy1)=?[y′0?logy0+(1?y′0)?log(1?y0)]$H(y,y^{\prime })=?\sum _{i=0}^1{y}_i^{\prime }log{y}_i=?(y_0^{\prime }?log{y}_0+y_1^{\prime }?log{y}_1)=?[y_0^{\prime }?log{y}_0+(1?y_0^{\prime })?log(1?y_0)]$

可以看出二分类问题的交叉熵其实是多分类扩展后的变形,在FocalLoss文章中，作者用一个分段函数代表二分类问题的CE(CrossEntropy)以及用pt的一个分段函数来代表二分类中标签值为1的 yi$y_i$部分（此处的标签值为one-hot[0 1]或[1 0]中1所在的类别）：

文章图中的p（predict或probility？）等价于多分类Cross Entropy公式的y，也即经激活函数（多分类为softmax函数，二分类为sigmoid函数）后得到的概率，而文章中的y对应的是Cross Entropy中的y′$y^{\prime }$，即label。

CE经分段函数pt作为自变量后可以转化为CE(p,y)=CE(pt)=?log(pt)$CE(p,y)=CE(p_t)=?log(p_t)$,实际上pt$p_t$所代表的就是多分类CE中的y′i$y_i^{\prime }$（标签值）为1对应的yi$y_i$的值，只不过在二分类中y0$y_0$和y1$y_1$互斥（两者之和为1），所以可以用一个分段的变量pt$p_t$来表示在i取不同值情况下的yi$y_i$，我理解pt$p_t$为当前样本的置信度，pt$p_t$越大置信度越大，交叉熵越小。总结：多分类中每个样本的pt为one-hot中label为1的index对应预测结果pred的值,用代码表达就是max(ypred?ylabel,axis=?1)$max(y_{pred}?y_{label},axis=?1)$

了解pt$p_t$所代表的是什么之后，接下来多分类的Focal Loss就好解决了。接下来举个三分类的例子来模拟一下流程大致就知道代码怎么写了：
假设
ypred$y_{pred}$为softmax之后得出的结果：

ylabel$y_{label}$为one-hot标签：

pt=ypred?ylabel$p_t=y_{pred}?y_{label}$:

1?pt$1?p_t$ :

log(pt)$log(p_t)$:(注意pt可能为0，log(x)的取值不能为0,所以加上epsilon)

Fl:

可以看到3.4538..的地方本该是0才对，原因是log函数后会得到一个很小的值，而不是0，所以应该先做log再乘y_label:

原： log(pt)=log(ylabel?ypred)$log(p_t)=log(y_{label}?y_{pred})$
改： log(pt)=ylabel?log(ypred)$log(p_t)=y_{label}?log(y_{pred})$

顺带一提，在多分类中alpha参数是没有效果的，每个样本都乘以了同样的权重

详细信息可以看代码中的注释

代码：Keras版本