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中国剩余定理($CRT$),也称孙子定理,原文如下:
啊“有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。问物几何?”
很明显这是一个同余方程组,于是我们就可以用中国剩余定理求解
它可以用于求解模数两两互质时的同余方程组
设 $b_1,b_2,\ldots,b_k$ 两两互质
则同余方程组 $\begin{cases} x\equiv a_1\ (mod\ b_1) \\ x\equiv a_2\ (mod\ b_2) \\ \qquad\dots \\ x\equiv a_k\ (mod\ b_k) \end{cases}$ 有整数解
并且在 $mod\ lcm=\prod_{i=1}^{k}b_i$ 意义下有唯一解
为 $x=\sum_{i=1}^ka_ileft_iinv(left_i)\%lcm$
其中 $left_i=\dfrac{lcm}{b_i}$ ,$inv(left_i)$ 为 $left_i\ mod\ b_i$ 意义下的逆元
同时 $CRT$ 一般会配合龟速乘,防止乘起来会爆 $long\ long$
typedef long long ll; void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) { if(!b) { x=1,y=0; return; } exgcd(b,a%b,y,x); y-=a/b*x; } ll qmul(ll a,ll b,ll p) { ll ans=0,base=a%p; while(b) { if(b&1) ans=(ans+base)%p; base=(base+base)%p; b>>=1; } return ans; } ll CRT(int n,ll *a,ll *b) { ll ans=0,lcm=1; for(int i=1;i<=n;i++) lcm*=b[i]; for(int i=1;i<=n;i++) { ll inv,k; ll left=lcm/b[i]; exgcd(left,b[i],inv,k); inv=(inv%b[i]+b[i])%b[i]; ans=(ans+qmul(qmul(a[i],left,lcm),inv,lcm))%lcm; } return (ans+lcm)%lcm; }
扩展中国剩余定理可以用来解决模数不互质的情况
据说中国剩余定理好像很少会考
拓展中国剩余定理好像可以搞扩展卢卡斯定理
然而我并不会扩展卢卡斯
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原文地址:https://www.cnblogs.com/Vscoder/p/10551544.html