QQ 数

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题意
企鹅国数学家 QQ 潜心研究数论，终于发现了一个简单的数论问题！
一个 QQ 数定义为一个拥有一个大于 $1$ 的完全平方数为因子的数字，一个数字的 QQ 值定义为这个数是 QQ 数的因数个数。
现在 QQ 想知道在 $[L,R]$ 范围内，每个整数的 QQ 值之和是多少？
你只需要告诉他这个数字，他就可以给你宝贵的 $10$ 分作为一个奖励！
$1 \leq L\leq R \leq 10^9$；
题解
很妙的莫比乌斯好题
题意为 $\sum_{i=1}^n \sum_{d|i} 1-\mu^2(d)$
考虑化简式子哈(除法都为向下取整
$\sum_{d=1}^n(1-\mu^2(d)) \times \frac{n}{d}$
$\sum_{d=1}^n \frac{n}{d}-\sum_{d=1}^n \mu^2(d) \times \frac{n}{d}$
当 $d∈[l,r]$ 时， $\frac{n}{d}=k$
考虑被减的式子
$\sum k \sum_{d=l}^r\mu^2(d)$
$\sum k(\sum_{d=1}^r\mu^2(d)-\sum_{d=1}^{l-1}\mu^2(d))$
考虑对 $\sum_{d=1}^n\mu^2(d)$ 进行化简，可以发现这个式子的意义就是求 $\leq n$ 的不含完全平方因子的数的个数
$n-\frac{n}{2^2}-\frac{n}{3^2}-\frac{n}{5^2}+\frac{n}{6^2}...$
$\sum_{i=1}^{i \times i \leq n}\mu(i) \times \frac{n}{i^2}$
因此就预处理出 $sqrt(1e9)$ 以内的 $\mu(i)$ 的前缀和，然后两重数论分块即可

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=1e5+5;bool F[N];
LL L,R,mu[N],sm[N],p[N];
LL W(LL n){
    LL A=0;for (LL j,i=1;i*i<=n;i=j+1)
        j=sqrt(n/(n/(i*i))),
        A+=(sm[j]-sm[i-1])*(n/(i*i));
    return A;
}
LL D(LL n){
    LL A=0;for (LL r,l=1;l<=n;l=r+1)
        r=n/(n/l),A+=(n/l)*(r-l+1-W(r)+W(l-1));
    return A;
}
int main(){
    cout<<log2(1.4e4)<<endl;
    mu[1]=sm[1]=1;
    for (int i=2;i<=N-5;i++){
        if (!F[i]) p[++p[0]]=i,mu[i]=-1;
        for (int j=1;j<=p[0] && p[j]*i<=N-5;j++){
            F[p[j]*i]=1;
            if (i%p[j]==0) break;
            else mu[p[j]*i]=-mu[i];
        }
        sm[i]=sm[i-1]+mu[i];
    }
    scanf("%lld%lld",&L,&R);
    return printf("%lld\n",D(R)-D(L-1)),0;
}

QQ 数

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原文地址：https://www.cnblogs.com/xjqxjq/p/10567275.html