【斐波那契序列】
序列中的每一个新项都是它前两项的和。
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 …………
数学表达式表示序列中的一个新项： tN = tN-1 + tN-2
像这种类型的表达式，序列中的每一个元素都是由先前的元素来确定，这种序列称为递归关系。
斐波那契序列的完整定义如下：
tn = n n= 0 或者 n= 1
tn = tn-1 + tn-2 n为其他值
这个数学公式是一个递归实现函数Fib(n)的理想模型。
int Fib(int n)
{
if(n<2){
return (n);
}else{
return (Fib(n-1) + Fib(n-2));
}
}
Fib(5)的计算步骤
显然这个递归的分解产生了许多冗余的调用，在这些调用中，计算机若干次调用了相同的项。
【改进】
斐波那契序列并不是唯一的通过下面的递归关系决定各项的序列：
tn = tn-1 + tn-2
按照对初始两项的选择，可以产生许多不同的序列，传统的斐波那契序列如下：
0， 1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， ……
它定义t0 = 0 ，t1 = 1。然而，如果定义t0 = 3和t1 = 7，将会得到下面的序列：
3， 7， 10， 17， 27， 44， 71， 115， 186， 301， 487， 788， 1275，……
这些序列全都采用相似的递归关系，它规定了每一个新项都是它的前两项的和。这些序列唯一的区别是初始两项的选择。通常，将符合这种样式的序列称为加法序列。
加法序列的概念使得找到斐波那契序列的第n项的问题转变为了一个更普遍的崽一个初始化为t0和t1的加法序列中找到第n项的问题。这个函数要求三个参数
int AdditiveSequence(int n, int t0, int t1);采用这个函数，很容易就实现了Fib。
int Fib(int n)
{
return (AdditiveSequence(n, 0, 1));
}
下一步就是如何实现AdditiveSequence函数。
假设希望在初始项为3 和7 的一个加法序列中找到t6.
t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9
3 7 10 17 27 44 71 115 186 301……
可以看到t6 = 71。我们发现t6其实就是在以7和10开头的加法序列中的t5
t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8
7 10 17 27 44 71 115 186 301……
根据这一点我们可以递归实现AdditiveSequence函数。int AdditiveSequence(int n, int t0, int t1)
{
if(n == 0) return (t0);
if(n == 1) return (t1);
return (AdditiveSequence(n - 1, t1, t0 + t1));
}
Fib(5)的计算过程
Fib(5)
= AdditiveSequence(5, 0 , 1)
= AdditiveSequence(4, 1, 1)
= AdditiveSequence(3, 1, 2)
= AdditiveSequence(2, 2, 3)
= AdditiveSequence(1, 3, 5)
= 5
明显这个实现方法的递归效率大于前一种。
C程序设计的抽象思维-递归入门,布布扣,bubuko.com
原文地址：http://blog.csdn.net/jjjcainiao/article/details/25798759
