标签：air   inline   code   划分数   cap   n+1   总数   dead   math   

minmax容斥：

锅：kth

用于求解期望最大值（最大值的期望），\((max\Rightarrow min)\)。
\[E(max(S))=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\times E(min(T))\]
\[=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\times \frac{1}{1-P(min(?_u T))}\]
\[E(min(S))=\frac{1}{P(min(S))}\]
\[P(min(S))=\sum_{x \bigcap S\neq \emptyset }P(x)\]
\[~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=1-\sum_{x \bigcap S= \emptyset }P(x)\]
\[~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=1-\sum_{x \subseteq ?_uS}P(x)\]
\[=1-P(min(?_u S))=\sum_{x \subseteq S}P(x)\]
HAOI
HDU4624(minmax&&容斥套路2)

期望的线性性：

\[E(X+Y)=E(X)+E(Y)\]

组合数公式：

\[{{-r}\choose {y}}=(-1)^y\times {r+y-1\choose y}\]
\[{n\choose m}=\frac{n\times(n-1)\times(n-2)\times\dots\times(n-m+1)}{m!}(n\in Z)\]
\[{n+m\choose k}=\sum_{i=0}^{k}{n\choose i}\times{m\choose k-i}\]
\[\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}^2={2n\choose n}\]
\[\sum_{r=0}^{n}{n\choose r}=2^n\]
\[\sum_{r=0}^{k}{n+r-1\choose r}={n+k\choose k}\]
\[\sum_{i=1}^n i\times {n\choose i}\times x^i=n\times (1+x)^{n-1}\]
\[{n\choose m}\%2==1 <=>(n\&m)==m\]
\[{n\choose m}=\prod_{i=1}^k \frac{n+1-i}{i}\]
\[\sum_{i=1}^n{i\choose m}={n+1\choose m+1}\]
\[\sum_{i=1}^m{n\choose i}=F(n,m)\]
\[{\begin{cases}{F(i,i)=1}\\{F(i,j+1)=F(i,j)+{i\choose j+1}}\\{F(i+1,j)=2\times F(i,j)-{i\choose j}}\end{cases}}\]
\[F(i,j)=F(i\%p,p-1)\times F(\frac{n}{p},\frac{k}{p}-1)+{\frac{k}{p}\choose \frac{n}{p}}\times F(n\%p,k\%p)\]
\[-ij={i\choose 2}+{j\choose 2}-{i+j\choose 2}\]

套路：

\(1.\)利用\(dp\)(背包)合并容斥系数\((1,-1)\)。（有上界的划分数类问题）
\(2.\)套路1+神奇思路ZOJ4064
\(3.\)
\(4.\)CF932 G
\(5.\)CF348 D
\(LGV~lemma\)定理：n个起点，n个终点，一一对应，求互不相交的路径有多少种：
\[ ans=determinant \left[ \begin{matrix} e(x_1,y_1) & e(x_1,y_2) & \cdots & e(x_1,y_n) \\ e(x_2,y_1) & e(x_2,y_2) & \cdots & e(x_2,y_n) \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ e(x_n,y_1) & e(x_n,y_2) & \cdots & e(x_n,y_n)\end{matrix} \right] \]
\(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~e(x,y)=x\)到\(y\)的合法路径条数
\(6.\)类\(LGV~lemma\)：n维空间，从\((x_1,x_2\dots x_n)\)走到\((y_1,y_2\dots y_n)\)方案数\[=(\sum y_i-\sum x_i)!\times e\]
\[ e=determinant \left[ \begin{matrix} \frac{1}{(y_1-x_1)!} & \frac{1}{(y_1-x_2)!} & \cdots & \frac{1}{(y_1-x_n)!} \\ \frac{1}{(y_2-x_1)!} & \frac{1}{(y_2-x_2)!} & \cdots & \frac{1}{(y_2-x_n)!} \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ \frac{1}{(y_n-x_1)!} & \frac{1}{(y_n-x_2)!} & \cdots & \frac{1}{(y_n-x_n)!} \end{matrix} \right] \]
\(7.\)半容斥：无向连通图个数=总数-不联通的图的个数(基准点计数)传送门,一类套路CF53E Dead Ends。
\(8.\)对于递推方程：\[f(i)=a\times f(i-p)+b\times f(i-q)\]
可以理解成每次选择花费\(a\)的代价走\(p\)步，或者花费\(b\)的代价走\(q\)步那么\[f(n)=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor} {i+\frac{(n-i\times p)}{q}\choose i}\times a^i\times b^{\frac{(n-i\times p)}{q}}~~~~~~~~~~~(q|(n-i\times p))\]PE 427\(q=1\)，枚举\(p\)，复杂度\(O(n^2) \Rightarrow O(nlogn)\)
由此可推
\[\sum_{i=0}^{\lfloor \frac n k\rfloor} {n-i\choose i}<=>f(n)=f(n-1)+f(n-k)\]
\(10.\)考虑组合意义：
\[x^k=\sum_{i=0}^{x~or~k}{x\choose i}\times i! \times S(k,i)\]

组合计数

标签：air   inline   code   划分数   cap   n+1   总数   dead   math   

原文地址：https://www.cnblogs.com/Smeow/p/10582615.html