直线、圆、其他图形可以将一个无限大的平面分成的块数

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 3Blue1Brown有个视频，就是在一个马克杯上画三个不同的房子，还有三哥不同的设施(供气、供电和供水)，每一个房子都要连接三个设施

一共要画九条线，任意两条线不能相交  【官方双语】众多科普YouTuber深陷图论谜题，谜底竟然...

这个问题是不可解的，很多大神也画不出来，因为Euler公式23333(欧拉简直太神了)

Euler公式是说，在一个由若干顶点和它们之间的一些不相交的边所组成的图中，等式V+F=E+2总成立

其中V表示顶点个数，E表示总的边数，F表示这个图分割出来的区域个数（包括一个“外部区域”，例如一个圆把平面分割为两个区域）。

现在我们证明下标题的问题，考虑用一个无限大的圆去包裹当前的图形，但是会额外长生一个外区域，需要减去

比如一条直线，可以产生2个交点3条边，就是3-2+1=2

两条直线，平行 产生4个交点6条边，就是6-4+1=3

                 相交于1点 产生5个交点8条边就是8-5+1=4

三条直线  平行 产生6个交点9条边 就是9-6+1=4

                 相交于1点 产生7个交点12条边就是12-7+1=6

                 相交于2点 产生8个交点13条边就是13-8+1=6 //前一个状态多个平行，多两个区域

                 相交于3点 产生9个交点15条边就是15-9+1=7

当然是交点最多点最多了，交点个数=直线条数*(直线条数-1)/2，这些交点会产生[2*交点个数-直线条数]条边，外面补圆了呢，每条直线都要多4条边，多两个顶点

所以这个用n表示直线条数所得关系式为F=4n+2*n(n-1)/2-n-n(n-1)/2-2*n+1=n*(n-1)/2+n+1=n*(n+1)/2+1(n>1)

n=1也成立，所以满足通项公式

如果确定m个点呢，这些点产生的边可能是不同的

所以是交点问题，下面将会解决

圆的话，相当于少画一个圆，然后区域数不需要-1，即m*(m-1)+2

然后可以去做做TZOJ 4689和3974 题解:TOJ 3974: Region n条直线m个圆最多将圆分为几个区域  TOJ 4689: Sawtooth

然后我们来解决 

3681: 平面分割 

直线、圆、其他图形可以将一个无限大的平面分成的块数

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原文地址：https://www.cnblogs.com/BobHuang/p/10583389.html