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1.1 函数

1.1.1 函数

函数： 对于两个变量\(x,y\)，其中\(x\in{D}\)，如果对任意的\(x\in{D}\)，总存在唯一确定的\(y\)与\(x\)对应，则称\(y\)为\(x\)的函数，记作\(y=f(x)\)。其中\(D\)为\(f(x)\)的定义域，\(R=\{y|y=f(x),x\in{D}\}\)为\(f(x)\)的值域。

补充说明：

• \(\forall\)：任意的
• \(\exists\)：存在
• \(\exists{|}\)：存在唯一

1.1.1.1 符号函数

符号函数：
\[ y= \begin{cases} -1, & x<0 \0, & x=0 \1, & x>0 \end{cases} \]

1.1.1.2 狄利克雷函数

狄利克雷函数：
\[ \begin{cases} 1, & x\in{Q(有理数)} \0, & x\in{R(无理数)} \end{cases} \]

1.1.1.3 取整函数

取整函数：
\(y=[x]\)

如：\([\sqrt{2}]=1,[-0.1]=-1,[3]=3\)

补充说明：

• \([x]\leq{x}\)
• \([x+y]\neq{[x]+[y]}\)
• 当\(k\in{Z(整数)},[x+k]=[x]+k\)

1.1.2 反函数

反函数：\(y=f(x),\,x\in{D}\)，\(y\)严格单调且\(y\)与\(x\)呈一一映射关系（单射），则
\[ y=f(x)\implies{x=g(y)} \]
其中\(g()\)称为反函数。

1.1.2.1 示例

??求\(y=\ln{(x+\sqrt{x^2+1})}\)的反函数。

解：
\[ \begin{align} y & =\ln{(x+\sqrt{x^2+1})}(两边取e的指数) \& \implies{e^y = x+\sqrt{x^2+1}} \-y & = -\ln{(x+\sqrt{x^2+1})} \& = \ln{(x+\sqrt{x^2+1})}^{-1}(两边取e的指数) \& \implies{e^{-y} = (x+\sqrt{x^2+1})}^{-1} \e^{-y} & = (x+\sqrt{x^2+1})^{-1} \& = \frac{1}{(x+\sqrt{x^2+1})} \& = \frac{1}{(\sqrt{x^2+1}+x)} \& = \frac{\sqrt{x^2+1}-x}{(\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x)} \& = \sqrt{x^2+1}-x \\because{e^y-e^{-y}} & = x+\sqrt{x^2+1}-(\sqrt{x^2+1}-x) \& = 2x \\therefore{x} & = \frac{e^y-e^{-y}}{2} \end{align} \]
答：\(y=\ln{(x+\sqrt{x^2+1})}\)的反函数为\(x=\frac{e^y-e^{-y}}{2}\)。

1.1.3 基本初等函数

基本初等函数：基本初等函数相当于积木中的积木块，为最小分解单位。

1. \(x^a\)
2. \(a^x,(a>0且a\neq{1})\)
3. \(\log{a^x},(a>0且a\neq{1})\)
4. \(\sin{x},\cos{x},\tan{x},\cot{x},\sec{x},\csc{x}\)
5. \(arcsin{x},arccos{x},arctan{x},arccot{x}\)

1.1.4 初等函数

初等函数：初等函数由常数和基本初等函数经四则运算或复合运算而组成的式子。如：\(y=3e^{x^2}\)，其中\(y=e^u,u=x^2\)

1.1.5 初等性质

1.1.5.1 奇偶性

??假设存在\(y=f(x),x\in{D}\)，\(D\)关于原点对称。

• 如果\(\forall{x\in{D}}\)，有\(f(-x)=-f(x)\)，\(f(x)\)为奇函数
• 如果\(\forall{x\in{D}}\)，有\(f(-x)=f(x)\)，\(f(x)\)为偶函数

1.1.5.2 单调性

??

1.1.5.2 有界性

??

1.1.5.2 周期性

??

1.1 函数

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原文地址：https://www.cnblogs.com/chenyoude/p/10588978.html