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\(prufer\)序列应该是一个比较实用的东西。
据\(hl666\)大佬说，一切与度数有关的树上计数问题，都可以用它以及它的性质来解决。
而听说\(ZJOI\)最近特别喜欢出计数题，所以有必要学一学。
现在，给你一棵树，我们要考虑如何把它变成\(prefur\)序列。
我们需要重复进行以下操作，直至树中只剩下两个点：
然后我们就得到了一个长度为\(n-2\)的序列，这就是\(prufer\)序列。
所以它有什么实际意义呢？
我也不知道。
以上面的图为例，我们可以模拟这一过程如下：
所以，最后得到的\(prufer\)序列就是\(\{2,3,1,2,1\}\)。
还是以刚才那棵树为例吧，我们要考虑如何把它的\(prefur\)序列变回它本身。
我们需要重复进行以下操作，直至点集中只剩下两个点：（初始化所有点都在点集中）
最后，我们在点集中剩下的两个点中连一条边。
显然这有\(n-1\)条边，且绝对不会形成环，因此它是一棵树，且就是原树。
以上面的序列为例，我们可以模拟这一过程如下：
最后再在\(1,7\)间连边，就可以得到原树了。
讲了这么多，我们最关键的还是\(prufer\)序列的一些性质，以及与其有关的一些结论。（毕竟前面也提到过，我也不知道这东西有什么实际意义）
重要性质：\(prufer\)序列与无根树一一对应。
这应该显然吧，通过前面的介绍应该可以直接得出。
而由这个性质，我们才能推导出后面的结论。
度数为\(d_i\)的节点会在\(prufer\)序列中出现\(d_i-1\)次。
当某个节点度数为\(1\)时，会直接被删掉，否则每少掉一个相邻的节点，它就会在序列中出现\(1\)次。
因此共出现\(d_i-1\)次。
一个\(n\)个节点的完全图的生成树个数为\(n^{n-2}\)。
对于一个\(n\)个点的无根树，它的\(prufer\)序列长为\(n-2\)，而每个位置有\(n\)种可能性，因此可能的\(prufer\)序列有\(n^{n-2}\)种。
又由于\(prufer\)序列与无根树一一对应，因此生成树个数应与\(prufer\)序列种树相同，即\(n^{n-2}\)。
对于给定度数为\(d_{1\sim n}\)的一棵无根树共有\(\frac{(n-2)!}{\prod_{i=1}^n(d_i-1)!}\)种情况。
由上面的性质可以知道，度数为\(d_i\)的节点会在\(prufer\)序列中出现\(d_i-1\)次。
则就是要求出\(d_i-1\)个\(i(1\le i\le n)\)的全排列个数。
而上面那个式子就是可重全排列公式。（即全排列个数除以重复元素内部的全排列个数）
大致就是这些。
下面有两道例题：【洛谷2290】[HNOI2004] 树的计数和【洛谷2624】[HNOI2008] 明明的烦恼。
实际上，这两道题都只用了由\(prufer\)序列所推导得到的结论，而没有真正构造\(prufer\)序列，应该也不算特别好的例题。。。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/chenxiaoran666/p/prufer.html
