标签：证明 ace 计算 \n 一个 math 掌握 接下来 分段
由\(a_n\)与\(S_n\)的关系求数列\(\{a_n\}\)的通项公式【要求重点掌握的类型】
方法：熟练记忆\(a_n\)与\(S_n\)的关系\(a_n = \begin{cases}S_1 &n=1 \\ S_n-S_{n-1} &n \ge 2 \end{cases}\)，并灵活运用。
思路：构造\(S_{n-1}\)，用两者作差之法
分析：当\(n=1\)时，\(S_1=a_1=6\)，
当\(n\ge 2\)时，由已知可得\(S_{n-1}=2(n-1)^2+3(n-1)+1\)，
又\(S_n=2n^2+3n+1\)，两式相减得到
\(n\ge 2\)时，\(a_n=S_n-S_{n-1}=4n+1\)，
由于\(n=1\)时，\(a_1=6\)，不满足上式，故需要将通项公式写成分段函数形式，
即所求通项公式为\(a_n=\begin{cases}6，&n=1\\4n+1，&n\ge 2\end{cases}\)。
分析：由已知可得，当\(n\ge 2\)时，\(2^1a_1+2^2a_2+2^3a_3+\dots+2^{n-1}a_{n-1} = n-1\)，
两式作差得到
当\(n\ge 2\)时，\(2^na_n =1\)，即\(a_n=\cfrac{1}{2^n}=(\cfrac{1}{2})^n\)，
又当\(n=1\)时，\(2^1a_1=1\)，即\(a_1=\cfrac{1}{2}\)，满足上式，
故所求通项公式为\(a_n=(\cfrac{1}{2})^n，n\in N^*\)。
【解后反思】此题目中涉及两个数列，其中数列\(\{a_n\}\)其和
若求\(a_n\) ，思路：设法消去\(S_n\)，即构造\(S_{n-1}\)，作差即可。
分析：由已知\(2S_n+a_n=1\)可得，
当\(n\ge 2\)时，\(2S_{n-1}+a_{n-1}=1\)，两式相减得到
当\(n\ge 2\)时，\(3a_n-a_{n-1}=0\)，
又\(n=1\)时，\(2S_1+a_1=1\)，解得\(a_1=\cfrac{1}{3}\)，
故可知\(\cfrac{a_n}{a_{n-1}}=\cfrac{1}{3}\)，
即数列\(\{a_n\}\)是首项为\(\cfrac{1}{3}\)，公比为\(\cfrac{1}{3}\)的等比数列，
通项公式为\(a_n=\cfrac{1}{3^n}(n\in N^*)\)。
若求\(S_n\) ，思路：消去\(a_n\)，用\(s_n-s_{n-1}=a_n\)代换\(a_n\)即可。
分析：由\(a_{n+1}=S_{n+1}-S_n\)，代入已知式子得到，
\(S_{n+1}-S_n=3S_n\)，整理得到，\(S_{n+1}=4S_n\)，
由\(S_1=a_1=1\neq 0\)，故数列\(\{S_n\}\)是首项是1，公比为4的等比数列，
故\(S_n=1\cdot 4^{n-1}=4^{n-1}(n\in N^*)\)。
①若出现\(a_{n+1} =pa_n + q(p，q\in R)\) ，两边同加常数\(k=\cfrac{q}{p-1}\)构造等比数列。
【解释】：为什么同加常数\(k=\cfrac{q}{p-1}\)就可以构造等比数列，
假设\(a_{n+1} = pa_n + q\)，可以变形为\(a_{n+1}+k=p(a_n+k)\)，整理得到\(a_{n+1}=pa_n+pk-k\)，
则有\(k(p-1)=q\)，故\(k=\cfrac{q}{p-1}\)，即只要给所给的形如\(a_{n+1} = pa_n + q\)的式子两边同时
加上常数\(\cfrac{q}{p-1}\)，则可以等价变形为\(a_{n+1}+k=p(a_n+k)\)，接下来就可以朝等比数列考虑了。
分析：由已知当\(n\ge 2\)时，\(S_{n-1}=2a_{n-1}+(n-1)\)，两式相减得到
\(n\ge 2\)时，\(a_n=2a_n-2a_{n-1}+1\)，整理得到\(a_n=2a_{n-1}-1\)，两边同加-1，
即\(a_n-1=2(a_{n-1}-1)\)，故\(a_1-1=1\neq 0\)，
故数列\(\{a_n-1\}\)是首项为1，公比为2的等比数列，
故\(a_n-1=1\cdot 2^{n-1}\)，故\(a_n=2^{n-1}+1(n\in N^*)\)。
②若出现\(a_{n+1} =pa_n+qn+k\)，两边同加关于\(n\)的一次式构造等比数列。(较难的类型)
分析：设\(a_{n+1}+p(n+1)+q=2(a_n+pn+q)\)，打开整理得到，\(p=3，q=1\)，
整理都得到\(a_{n+1}+3(n+1)+1=2(a_n+3n+1)\)，
由首项\(a_1+3\cdot 1+1=5\neq 0\) ，故数列\(\{a_n+3n+1\}\)是首项为5，公比为2的等比数列，
故\(a_n+3n+1=5\cdot 2^{n-1}\)，故\(a_n=5\cdot 2^{n-1}-3n-1(n\in N^*)\)。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/10604125.html
