『生日蛋糕 搜索剪枝』

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<第一次更新>

<正文>

Description

7月17日是Mr.W的生日，ACM-THU为此要制作一个体积为N×π的M层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。

设从下往上数第i(1 <= i <= M)层蛋糕是半径为Ri, 高度为Hi的圆柱。当i < M时，要求Ri > Ri+1且Hi > Hi+1。

由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积Q最小。

令Q = S×π请编程对给出的N和M，找出蛋糕的制作方案（适当的Ri和Hi的值），使S最小。（除Q外，以上所有数据皆为正整数）

Input Format

每组数据两行，第一行为N（N <= 10000），表示待制作的蛋糕的体积为N×πN×π；第二行为M(M <= 20)，表示蛋糕的层数为M。

Output Format

仅一行，是一个正整数S（若无解则S=0）。

Sample Input

100
2

Sample Output

68

解析

预备知识：圆柱体体积公式\(v=\pi R^2H\)，圆柱体侧面积公式\(s'=2\pi RH\)，圆柱体底面积公式\(s=\pi R^2\)

输出和输入均不考虑\(\pi\)，所以直接无视所有公式中的\(\pi\)即可。

直接考虑一个搜索算法，状态为\((dep,s,v)\)，代表当前搜索到第\(dep\)层(从上往下数)，表面积为\(s\)，体积为\(v\)，并且记录了第\(m\)至第\(dep-1\)层的高度和半径为\(h\)，\(r\)数组(小写)。然后对于每一层，枚举其高度\(H\)和半径\(R\)，进行搜索。

然后考虑如下的剪枝:

• 上下界剪枝：枚举\(R \in [dep,min(\lfloor \sqrt{n-v} \rfloor,r_{dep+1}-1)],H\in [dep,min(\lfloor \frac{n-v}{R^2} \rfloor,h_{dep+1}-1)]\)

由于蛋糕\(dep\)层以上还有\(m-dep\)层，高度和半径大小的要求都是递减的，所以枚举的左边界很容易得到。

对于半径，其枚举右边界显然不能大于等于\(r_{dep+1}\)，不然不满足递减性，假设第\(dep\)层就是最后一层，那么由圆柱体体积公式\(\pi R^2H=\pi (n-v)\)可以得到半径\(R\)显然需要满足\(R \leq \sqrt{n-v}\)，这就是半径的枚举范围。

对于高度，同样右边界不能大于等于\(h_{dep+1}\)，不然不满足递减性，由于已知\(R\)，那么我们也可以用体积公式得到高度\(H\)显然需要满足\(H \leq \frac{n-v}{R^2}\)，这就是高度的枚举范围。

• 搜索顺序剪枝：对于以上推导出的枚举范围，从大到小枚举。

• 可行性及最优性剪枝：预处理从上向下\(i\)层的最小侧面积及体积，即第\(i\)层半径高度都取\(i\)，最小体积\(v_i=i^3\)，最小表面积\(s_i=2*i^2\)。如果体积\(v\)加上剩下\(dep+1\)到\(1\)的最小体积和大于\(n\)时，可以剪枝。如果表面积\(s\)加上剩下\(dep+1\)到\(1\)的最小表面积和大于已经搜到的答案时，可以剪枝。

• 最优性剪枝：当\(\frac{2(n-v)}{r_{dep}}+s\)大于等于已经搜到的答案时，可以剪枝。

由圆柱体表面积与体积公式可以得到第\(1\)到第\(dep-1\)层的体积之和为
\[ \sum_{i=1}^{dep-1}(h_i*r_i^2) =n-v \]
侧面积之和为
\[ 2\sum_{i=1}^{dep-1}(h_i*r_i) \]
那么可以进行如下推导：
\[ 2\sum_{i=1}^{dep-1}(h_i*r_i) \\=\frac{2}{r_{dep}}\sum_{i=1}^{dep-1}(h_i*r_i)*r_{dep} \\ = \frac{2}{r_{dep}}\sum_{i=1}^{dep-1}(h_i*r_i*r_{dep}) \\ \geq \frac{2}{r_{dep}}\sum_{i=1}^{dep-1}(h_i*r_i^2) \\ =\frac{2(n-v)}{r_{dep}}=x \]
即第\(1\)到第\(dep-1\)层的表面积之和大于等于\(x\)，所以如果\(s+x\)大于等于已经搜到的答案时，也可以剪枝。

很多时候，\(dfs\)的剪枝是可以通过如上的缩放方式推导出来的，这就要求我们需要发现题目隐藏的性质，合理利用已知条件进行优化。

\(Code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mset(name,val) memset(name,val,sizeof name)
#define filein(str) freopen(str".in","r",stdin)
#define fileout(str) freopen(str".out","w",stdout)
const int N=10000+20,M=20+20,INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,h[M],r[M],Minsumv[M],Minsums[M],ans=INF;
inline void input(void)
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
}
inline void init(void)
{
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        Minsumv[i]=Minsumv[i-1]+(i*i*i);
        Minsums[i]=Minsums[i-1]+(2*i*i);
    }
    h[m+1]=r[m+1]=INF;
}
inline void dfs(int dep,int s,int v)
{
    if(!dep)
    {
        if(v==n)ans=min(ans,s);
        return;
    }
    if(2*(n-v)/(r[dep+1])+s>ans)return;
    if(v+Minsumv[dep]>n)return;
    if(s+Minsums[dep]>ans)return;
    for(int R=min((int)sqrt((n-v)*1.0),r[dep+1]-1);R>=dep;R--)
    {
        for(int H=min((n-v)/(R*R),h[dep+1]-1);H>=dep;H--)
        {
            r[dep]=R;h[dep]=H;
            if(dep==m)
                dfs(dep-1,R*R+2*R*H,R*R*H);
            else dfs(dep-1,s+2*R*H,v+R*R*H);
        }
    }
}
int main(void)
{
    input();
    init();
    dfs(m,0,0);
    printf("%d\n",ans==INF?0:ans);
    return 0;
} 

<后记>