标签:分解 之间 多少 span splay 假设 begin ali 情况
\[A_n^m=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}\]
(规定\(0!=1\))
推导:把\(n\)个不同的元素任选\(m\)个排序,按计数原理分步进行:
取第一个:有\(n\)种取法;
取第二个:有\((n-1)\)种取法;
取第三个:有\((n-2)\)种取法;?
……
取第\(m\)个:有\((n-m+1)\)种取法;
……
最后一步,取最后一个:有\(1\)种取法。
根据分步乘法原理,得出上述公式。
\[C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\]
\[C_n^n=1\]
证明:利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。
将部分排列问题\(A_n^m\)分解为两个步骤:?
第一步,就是从\(n\)个球中抽\(m\)个出来,先不排序,此即组合数问题\(C_n^m\);
第二步,则是把这\(m\)个被抽出来的球排序,即全排列\(A_m^m\)。
根据乘法原理,\(A_n^m=C_n^m A_m^m\),那么
\[C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\]
\[C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}\]
根据分类计数原理:要么含有新加元素要么不含新加元素。
\[C_n^0+C_n^1+C_n^2+\cdots+C_n^n=2^n\]
我们感性认知一下,上面这个式子的左边表示什么呢?
把从\(n\)个球中抽出\(0\)个球的组合数(值为\(1\))、抽出\(1\)个球的组合数、抽出\(2\)个球的组合数、……、抽出\(n\)个球的组合数相加。
换句话说,就是从\(n\)个球中随便抽出一些球,问一共有多少种组合。
对于第1个球,可以选,也可以不选,有2种情况。
对于第2个球,可以选,也可以不选,有2种情况。
对于任意一个球,可以选,也可以不选,有2种情况。
根据乘法原理,一共\(\underbrace{2\times 2\times \cdots \times 2}_{n\text{个2相乘}} = 2^n\)种组合。
想要严谨的证明?数学归纳法:
也可偷懒地用二项式定理证明(其实二项式定理也是用数学归纳法证明的):
\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k a^{n-k}b^k\]
令\(a=b=1\),就得到了
\[\sum_{i=0}^{n} C_n^i=2^n\]
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原文地址:https://www.cnblogs.com/1024th/p/10623541.html