[SDOI2017]数字表格

标签：strong   要求   prim   接下来   getc   ring   i++   putchar   output   

Description
Doris刚刚学习了fibonacci数列。用f[i]表示数列的第i项，那么
\[ f(x)=\begin{cases}0&,x=0\nonumber\\1&,x=1\nonumber\\f(x-1)+f(x-2)&,x\geqslant2\nonumber\end{cases} \]
Doris用老师的超级计算机生成了一个n×m的表格，第i行第j列的格子中的数是f[gcd(i,j)]，其中gcd(i,j)表示i,j的最大公约数。Doris的表格中共有n×m个数，她想知道这些数的乘积是多少。答案对10^9+7取模。

Input
有多组测试数据。
第一个一个数T，表示数据组数。
接下来T行，每行两个数n,m
T<=1000,1<=n,m<=10^6

Output
输出T行，第i行的数是第i组数据的结果

Sample Input
3
2 3
4 5
6 7

Sample Output
1
6
960

原式要求
\[ \prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^mf(\gcd(i,j)) \]
然后我们喜闻乐见一下
\[ \prod\limits_{d=1}^nf(d)^{\sum\limits_{i=1}^{\lfloor n/d\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor m/d\rfloor}[\gcd(i,j)=d]}\\\prod\limits_{d=1}^nf(d)^{\sum\limits_{x=1}^{\lfloor n/d\rfloor}\mu(x)\lfloor\frac{n}{dx}\rfloor\lfloor\frac{m}{dx}\rfloor} \]
我们令\(T=dx\)，然后继续推
\[ \prod\limits_{T=1}^n\prod\limits_{d|T}f(d)^{\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor\mu(\frac{T}{d})} \]
然后稍微分个组
\[ \prod\limits_{T=1}^n(\prod\limits_{d|T}f(d)^{\mu(\frac{T}{d})})^{\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor} \]
然后外面显然可以分块了，里面嘞？又不能线筛。。。

不能线筛就暴力算啊喂，范围才\(10^6\)，复杂度大概为\(O(n\ln n)\)的样子

然后暴力算出里面那玩意的前缀和，然后分块就好了

/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x7f7f7f7f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline char gc(){
    static char buf[1000000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1000000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int frd(){
    int x=0,f=1; char ch=gc();
    for (;ch<'0'||ch>'9';ch=gc())   if (ch=='-')    f=-1;
    for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=gc()) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
    return x*f;
}
inline int read(){
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())  if (ch=='-')    f=-1;
    for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())    x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
    return x*f;
}
inline void print(int x){
    if (x<0)    putchar('-'),x=-x;
    if (x>9)    print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int N=1e6,p=1e9+7;
int prime[N+10],f[N+10],mu[N+10],g[N+10],sf[N+10];
bool inprime[N+10];
int mlt(int a,int b){
    int res=1;
    for (;b;b>>=1,a=1ll*a*a%p)  if (b&1)    res=1ll*res*a%p;
    return res;
}
void prepare(){
    int tot=0;
    f[1]=mu[1]=g[1]=sf[0]=sf[1]=1;
    for (int i=2;i<=N;i++){
        if (!inprime[i])    mu[prime[++tot]=i]=-1;
        for (int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=N;j++){
            inprime[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0)  break;
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
        f[i]=(f[i-2]+f[i-1])%p;
        g[i]=mlt(f[i],p-2),sf[i]=1;
    }
    for (int i=1;i<=N;i++){
        if (!mu[i]) continue;
        for (int j=i;j<=N;j+=i)
            sf[j]=1ll*sf[j]*(mu[i]==1?f[j/i]:g[j/i])%p;
    }
    for (int i=1;i<=N;i++)  sf[i]=1ll*sf[i-1]*sf[i]%p;
}
int main(){
    prepare();
    for (int T=read();T;T--){
        int n=read(),m=read(),Ans=1;
        if (n>m)    swap(n,m);
        for (int i=1,pos;i<=n;i=pos+1){
            pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
            int res=1ll*sf[pos]*mlt(sf[i-1],p-2)%p;
            Ans=1ll*Ans*mlt(res,1ll*(n/i)*(m/i)%(p-1))%p;
        }
        printf("%d\n",Ans);
    }
    return 0;
}

[SDOI2017]数字表格

标签：strong   要求   prim   接下来   getc   ring   i++   putchar   output   

原文地址：https://www.cnblogs.com/Wolfycz/p/10624785.html