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二. 最小二乘法
我们以最简单的一元线性模型来解释最小二乘法。什么是一元线性模型呢？ 监督学习中，如果预测的变量是离散的，我们称其为分类（如决策树，支持向量机等），如果预测的变量是连续的，我们称其为回归。回归分析中，如果只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。对于二维空间线性是一条直线；对于三维空间线性是一个平面，对于多维空间线性是一个超平面...
对于一元线性回归模型, 假设从总体中获取了n组观察值（X1，Y1），（X2，Y2）， …，（Xn，Yn）。对于平面中的这n个点，可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看，这条直线处于样本数据的中心位置最合理。 选择最佳拟合曲线的标准可以确定为：使总的拟合误差（即总残差）达到最小。有以下三个标准可以选择：
（1）用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。
（2）用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。
（3）最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。
最常用的是普通最小二乘法（ Ordinary Least Square，OLS）：所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。（Q为残差平方和）- 即采用平方损失函数。
样本回归模型：
其中ei为样本（Xi, Yi）的误差
平方损失函数：
则通过Q最小确定这条直线，即确定
，以
为变量，把它们看作是Q的函数，就变成了一个求极值的问题，可以通过求导数得到。求Q对两个待估参数的偏导数：
根据数学知识我们知道，函数的极值点为偏导为0的点。
解得：
这就是最小二乘法的解法，就是求得平方损失函数的极值点。
三. C++实现代码
1 /*
2 最小二乘法C++实现
3 参数1为输入文件
4 输入 ： x
5 输出： 预测的y
6 */
7 #include<iostream>
8 #include<fstream>
9 #include<vector>
10 using namespace std;
11
12 class LeastSquare{
13 double a, b;
14 public:
15 LeastSquare(const vector<double>& x, const vector<double>& y)
16 {
17 double t1=0, t2=0, t3=0, t4=0;
18 for(int i=0; i<x.size(); ++i)
19 {
20 t1 += x[i]*x[i];
21 t2 += x[i];
22 t3 += x[i]*y[i];
23 t4 += y[i];
24 }
25 a = (t3*x.size() - t2*t4) / (t1*x.size() - t2*t2); // 求得β1
26 b = (t1*t4 - t2*t3) / (t1*x.size() - t2*t2); // 求得β2
27 }
28
29 double getY(const double x) const
30 {
31 return a*x + b;
32 }
33
34 void print() const
35 {
36 cout<<"y = "<<a<<"x + "<<b<<"\n";
37 }
38
39 };
40
41 int main(int argc, char *argv[])
42 {
43 if(argc != 2)
44 {
45 cout<<"Usage: DataFile.txt"<<endl;
46 return -1;
47 }
48 else
49 {
50 vector<double> x;
51 ifstream in(argv[1]);
52 for(double d; in>>d; )
53 x.push_back(d);
54 int sz = x.size();
55 vector<double> y(x.begin()+sz/2, x.end());
56 x.resize(sz/2);
57 LeastSquare ls(x, y);
58 ls.print();
59
60 cout<<"Input x:\n";
61 double x0;
62 while(cin>>x0)
63 {
64 cout<<"y = "<<ls.getY(x0)<<endl;
65 cout<<"Input x:\n";
66 }
67 }
68 }
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