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求证

$$e^{ix}=cos(x)+isin(x)$$

证明

设$z=x+iy$，则有$\frac{e^z}{e^x}=e^{iy}$。
牛顿幂级数展开式如下
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$
用幂级数展开式展开$e^{iy}$得到
$$\frac{e^z}{e^x}=e^{iy}=1+iy-\frac{y^2}{2!}-\frac{iy^3}{3!}+\frac{y^4}{4!}+\frac{iy^5}{5!}-\cdots$$
$$=(1-\frac{y^2}{2!}+\frac{y^4}{4!}-\cdots)+i(y-\frac{y^3}{3!}+\frac{y^5}{5!}-\cdots)$$
根据sin和cos的定义
$$cos(y)=1-\frac{y^2}{2!}+\frac{y^4}{4!}-\cdots$$
$$sin(y)=y-\frac{y^3}{3!}+\frac{y^5}{5!}-\cdots$$
所以
$$e^{x+iy}=e^x\times e^{iy}=e^x\times (cos(y)+isin(y))$$
得证：
$$e^{iy}=cos(y)+isin(y)$$

欧拉公式的证明

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原文地址：https://www.cnblogs.com/chhokmah/p/10655806.html