标签：查询 查找 慢慢 时间 处理 建议 search 作用 完成
最近学了分块（好奇怪啊，我先学线段树，树状数组，平衡树才开始学分块），为了不让自己忘记，也随便总结总结。因为刚刚开始入门，所以只讲最简单和最基础的。（以后会慢慢更新）
嗯~，其实分块是一种很暴力的算法，可以用于处理区间操作（主要）等问题，可以将线性的枚举优化。分块，就是分很多块来进行处理，和分治挺像的，不过分治分了再分，每次分两块(或更多)，而分块只用一次分很多块就可以了。
上面已经说了，分块是用来优化枚举的，那怎么优化咧，就拿P3374 【模板】树状数组 1来和大家讲一下。
对于每个操作，我们直接将为该下标的数加x 。
对于每一个讯问，我们一个for过去统计。
这样这道题就做完了，可是这样的时间复杂度非常高，是O(NM).
正解树状数组，不过这里讲分块。我们想一下怎么优化呢，对于每个操作，我们的复杂度是O(1)的，十分快;但是，对于每个讯问，复杂度却很高。那我们就从讯问入手，降低复杂度。
我们可以预处理每一个区间的和，前缀和就可以了，那修改操作会改变前缀和，怎么办呢？我们就可以引用分块思想，把这整个区间分成sqrt(n)块，将每一块的和先预处理出来，记为tag，那么每次操作，我们将要操作的那个数的所属块tag+=x，同时也对那个数直接修改。
讯问的话，我们查找[l,r]的区间和，如果有哪些块在[l,r]内的话，我们可以直接累加该块的tag。但有时候，区间[l,r]总有些数不完全是一整个块，那么我们暴力将那些数累加，每一次时间复杂度为O(sqrt(n))。
你说分块时间复杂度是O(sqrt(n))就一定是啊，那肯定不行，于是我们需要证明。
1、为什么要分成sqrt(n)块
理论上来说，这样分是最优的，为什么，因为如果分太多的话，直接累加块的tag的时候会变慢；有如果，分太少的话，暴力累加数的值会变慢；所以分成sqrt(n)块是最优的。
2、为什么讯问的复杂度是sqrt(n)的呢
讯问分成两个部分：
（1）将整个块累加：块也就sqrt(n)个，所以最多sqrt(n)的复杂度。
（2）暴力将一个个数累加：如果是散着的数的话，数量一定小于一个块的大小，一个块的大小是n/sqrt(n)=sqrt(n)，所以时间复杂度最多是sqrt(n)（ps：要对区间两边都累加，所以有常数2）
那么总时间复杂度就是O(3 sqrt(n))。是不是快很多了呢！
一样的【模板】树状数组 2也可以这么做。
对于每个操作，分块将区间[l,r]的整块tag+=x(tag初始为0)，再暴力将区间[l,r]两边不完全属于一个块的数累加值(tag不需累加)。
对于每个讯问，直接输出(该数的值+该数属于的块的tag值)就行了
最好去Loj上刷分块，那里有分块专题，还可以下数据，Loj分块地址
经过第一节的学习，大家应该都明白分块的基本思想了吧。下面第二节我将通过Loj上的分块专题来讲分块。
先看一下这道题：数列分块入门 2
一看题目，咦，求[l,r]区间小于c^2的数字个数，这不是很像求[l,r]区间c^2的排名吗，马上就可以想到平衡树啦，可是平衡树这么难写，那怎么办？ 分块！
首先，我们一个一个步骤分着来看：
(1).操作 操作和 分块1 的操作一模一样，我们先不理。
(2).查询 如果一般查询排名，我们可以将这一段数截出来，排序，然后二分查找(lower_bound操作)就ok了。那我们可不可以先将每一个块的数都排好序，然后查找每一个块的时候就直接二分呢？ ofcourse，当然可以！那零零散散的剩下的非整块的数就暴力找就可以了。
(3).排序操作 我们查询需要先排序，那么我们排序也成为了一个操作。我们另外开一个数组ve[i]（ve[i]为vector，i表示第i个块）来存每个块排序的数据（这里我使用了vector）。到时候查询的时候直接二分ve[i]就可以了。那每一次零散修改操作都会修改数值（整块操作还是直接加tag），那么我们要对有修改数值的那个块重新进行块内排序。
那么我们这个分块的基本思想就是这样了。还有很多小细节可以看看我的代码：
#6278. 数列分块入门 2代码
那么好，如果你学会了分块2并理解了，那么分块3对你来说简直是小菜一碟。
如果你真的不会的话（前提会分块2），我可以告诉你只需要修改讯问部分，如果你真的不行的话，说明你还没有真正理解分块2，再去看看吧下面，分块3代码（除了讯问部分我其他都不加注释，因为和分块2一样）：#6279. 数列分块入门 3代码
前面，我们学习了分块的许多操作，分块可以代替树状数组和平衡树的部分操作，那么线段树可不可以代替呢？
分块的力量是巨大的，连平衡树都可以，小小的线段树怎么可能不行呢？这一节，讲线段树的分块做法！
那么先看看这道题：#6280. 数列分块入门 4
很明显，这简直是线段树的模板题（吓得我直接就用神威无敌线段树水过了），分块当然也可以完成。
我们还是分步骤看：
(1).修改操作 又和分块1一样，不讲。
(2).查询操作 咦，这里是查区间和，分块1是查一个数，我们可以直接想到暴力将[l,r]区间所以数加起来，但明显超时。分块嘛，肯定是有作用嘀，我们可以马上想到提前把每个块的和都处理了，那么查询就十分方便了，两端暴力查，整块的就直接累加和就ok了。
嗯，很明显，这程序和分块1很像，但肯定被魔改过的，主要还是看程序的注释吧：#6280. 数列分块入门 4代码
然后我们就可以做#6281. 数列分块入门 5啦
看完是不是很懵逼，开方怎么打tag，打不了tag的话，分块就没啥用了啊，所以肯定是花式打tag的！错，就不打tag，就直接暴力！那要分块干嘛呀，等等你就知道了嘿嘿嘿（滑稽）
先分析一下数据哈：有负数！！！负数怎么开方，明显开不了啊，这个······
还有哈，0和1也是，怎么开都一个样……
最大的数据2^31-1，这个开方开5次就变成1了……
这……，是不是分析完数据觉得这题很滑稽呀
那么我们发现那些(<=1)的数修改起来简直是废的，除了耗时间什么用都没有。
我们就可以从这方面入手啊。
我们可以把那些小于等于1的数打标记，如果再搜到，不进行处理。那么一个一个打标记是几乎没有优化的，所以要一段一段打标记，所以就可以分块（怎么样，是不是完全想不到）
(1).修改操作 修改呢，非整块就直接暴力对其进行开方，记得更新每块的和哦 ?QwQ /，而整块呢，我们下面讲整块操作。
(2).查询操作 暴力对非整块的数累加，整块的就累加那一块的和。
(3).整块修改操作 如果这一整块以前被打过标记，就退出，不然就暴力对块内数进行开方（记得更新每块的和），同时判断数是否小于等于1，如果都小于等于1就可以直接把这个块打标记了。
下面就可以看代码了：#6281. 数列分块入门 5代码
未完待续……
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原文地址：https://www.cnblogs.com/hyfhaha/p/10678261.html
