『基础同余和费马小定理』

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同余

同余是数论中一个重要的概念，若整数\(a\)与整数\(b\)除以正整数\(m\)的余数相等，则称\(a\)，\(b\)再模\(m\)意义下同余，记为\(a\equiv b(mod\ m)\)或\(m|(a-b)\)。

同余基础性质

\(1.\)\(a≡a (mod\ m)\)，自反性

\(2.\)若\(a≡b (mod\ m)\)，则\(b≡a (mod\ m)\)，对称性

\(3.\)若\(a≡b (mod\ m)\)，\(b≡c (mod\ m)\)，则\(a≡c (mod\ m)\)，传递性

\(4.\)若\(a≡b (mod\ m)\)，\(c≡d (mod\ m)\)，则\(a±c≡b±d (mod\ m)\)，\(ac≡bd (mod\ m)\) ，同加性，同乘性

\(5.\)若\(n|m\)，\(a≡b (mod\ m)\)，则\(a≡b (mod\ n)\)

\(6.\)若\((m,n)=1\)，\(a≡b (mod\ m)\)，\(a≡b (mod\ n)\)，则\(a≡b (mod\ mn)\)

\(7.\)若\(a≡b (mod\ m)\)，\(n∈N^*\)，则\(an≡bn (mod\ m)\) 同幂性

\(8.\)若\(ac≡bc (mod\ m)\)，\((c,m)=d\)，则\(a≡b (mod\ \frac{m}{d} )\)

这些基础性质在许多推导，证明等过程中都有作用，请读者务必牢记。

同余类和剩余系

对于\(\forall a\in[0,m-1]\)，集合\(\{a+km\}(k\in Z)\)的所有数模\(m\)同余，余数都是\(a\)，称该集合为模\(m\)的一个同余类，记为\(\overline{a}\)。

显然，模\(m\)同余类有\(m\)个，分别为\(\overline{1},\overline{2},...,\overline{m-1}\)。它们构成\(m\)的完全剩余系，简称完系。

\(1-m\)中与\(m\)互质的数代表的剩余系共有\(\phi(m)\)个，它们构成\(m\)的化简剩余系，简称缩系。例如，模\(10\)的缩系为\(\{\overline{1},\overline{3},\overline{7},\overline{9}\}\)。

化简剩余系关于模\(m\)乘法封闭。对于任意的\(a,b\)与\(m\)互质，\(a*b\)与\(m\)显然也互质，则\(a*b\ mod\ m\)也与\(m\)互质，那么\(a*b\ mod\ m\)也是\(m\)化简剩余系中的一个同余类。

费马小定理

费马小定理是有关同余的一个重要数论定理，其描述如下：

若\(p\)为质数，则对于任意整数\(a\)，有\(a^p\equiv a(mod\ p)\)。

我们将通过证明欧拉定理来进一步理解费马小定理。

欧拉定理

若正整数\(a,n\)互质，则\(a^{\phi(n)}\equiv 1(mod\ n)\)，\(\phi(n)\)为欧拉函数。

证明：

设\(n\)的化简剩余系为\(\{\overline{a_1},...,\overline{a_{\phi(n)}}\}\)，对于\(\forall \ a_i,a_j\)，\(a_i\not =a_j\)时，\(aa_i\)，\(aa_j\)代表不同的同余类。

反证法，若\(aa_i\equiv aa_j(mod\ n)\)，则\(a(a_i-a_j)\equiv 0(mod\ n)\)，由于\(gcd(a,n)=1\)，所以\(a_i-a_j\equiv 0(mod\ n)\)，\(a_i\equiv a_j(mod\ n)\)，与\(a_i\not =a_j\)矛盾。

又因为化简剩余系满足乘法封闭，故\(\{\overline{aa_1},...,\overline{aa_{\phi(n)}}\}\)也能表示\(n\)的化简剩余系，所以：
\[a^{\phi(n)}a_1a_2...a_{\phi(n)}\equiv (aa_1)(aa_2)...(aa_{\phi(n)})\equiv a_1a_2...a_{\phi(n)}(mod\ n)\]
故\(a^{\phi(n)}\equiv 1(mod\ n)\)。

当\(n\)为质数时，\(\phi(n)=n-1\)，故费马小定理时欧拉定理的一个特殊情况。

欧拉定理的推论

若正整数\(a,n\)互质，则对于任意的正整数\(b\)，有\(a^b\equiv a^{b\ mod\ \phi(n)}(mod\ n)\)。

证明：

设\(b=q*\phi(x)+r\)，\(0 \leq r <\phi(n)\)，于是有：
\[a^d \equiv a^{q*\phi(x)+r}\equiv (a^{\phi(n)})^{q}*a^r\equiv1^q*a^r\equiv a^r=a^{b\ mod\ \phi(n)}(mod\ n)\]

特别地，当\(a,n\)不一定互质但\(b>\phi(n)\)时，有\(a^b\equiv a^{b\ mod\ \phi(n)+\phi(n)}(mod\ n)\)，此处证明略。

威尔逊定理

威尔逊定理也是数论中及其重要的一个定理，我们简单了解。

若\(p\)为质数，则\((p-1)!\equiv -1(mod\ p)\)。

证明可见数论四大定理之威尔逊定理。

<后记>