体现公平性公式在规划问题中的应用

本文是在Optaplanner创始人 Geoffrey De Smet先生的一篇文章《Formula for measuring unfairness》的基础上进行翻译而成。因为其博文发表在Optaplanner的官网上，因此，其行文过程中存在一定的上下文默认情况，如果直译原文，将会大大降低其可读性。因此，本文是在原文的基础上添加一些本人修饰的表达而成。

负载均衡在Optapalnner的应用案例中是一种极为常见的约束，特别是做一些人员排班等场景，各人的工作量需要尽可能公平分配。但是，说起来容易做起来难。本篇让我们来研究一下这个具挑战性的问题。

本文中，我们使用以下案例：有15个烦人的任务，需要分配给5个员工，每个任务需时1天来完成，且每个任务都有不同的人员技能要求。

何谓公平？

我们先来看看两个关于公平，但又对立的定义：

1. 如果大多数员工都认为对自己公平的，那这个方案就是公平的。
2. 对于分得最多任务的员工而言，其所分的任务越少，则这个安排就越公平。（即越平均越公平）

很显然，因为我们想将方案调整到对所有人都是平等，第2个定义更正确。此外，如果为了让几乎所有人都高兴，我们把所有任务都分配给一个人（例如都分给阿Ann），那么她很可能马上就走人了。因此，这种想法不可行。如下表：

按公平性对各个方案进行排序

我们来看看同一问题下的若干任务分配方案，都是15个烦人的任务：

以上是将7个方案的公平程度，从高到低排列。也许这些方案有些是不可行的，因为有些任务是有特定的技术要求。从上表可以看出，所有方案中，阿Ann都满足"分到最多任务"的条件。那么，我们如何对比阿Ann具有相同任务数的两个不同方案呢？

我们截取阿Ann的任务数相同的两个方案(C和D)如下表：

在这种情况下，我们看看除最不公平的Ann以外，正处于第二不公平的员工Beth的任务分配情况, 在此基础上，我们最小化她的任务，按照公平定义的第2条，因阿Ann的任务任务数在两个方案中不变，这两个方案中，对于分得第二多任务的Beth,若分得的任务越少，则越公平。

综上，我们找到了公平性的定义 - 尽可能平均，那么我们应该如何实现它呢？

衡量公平的方式

理想情况下，我们想通过计算出一个惩罚性分值，用于衡量一个方案的公平性。分值越低越公平。我们应该如何计算这个分值呢？我们先来看看一些公式。

离均差

因为在完美公平的分配方案中，所有的员工分得的任务数是平均的，如果我们简单地加总每个员工的任务数，再与均值对比，会怎么样？

我们先看看绝对离均差与平均离均差两个公式，并对上表的各个方案进行，使用这两个公式进行计算：

绝对离均差：

平均离均差：

两个衡量公式计算出来的结果如下：

上表的测量结果相当糟糕。在表中：

1. 对比方案B与方案C（两个方案的公式计算结果值一样），它们公平性一样吗？不是的，因为两个方案中，各人的任务数不同。
2. 再对比方案D与方案E，前者两公式的计算结果都比后者高，那么方案D真的比方案E差吗？也不是的，问一下阿Ann就知道了，方案E中她竟然分得6个任务。

方差与标准差

在统计学上，方差与标准差用于计算数据的离散程度。听起来好像正满足我们需求，我们来看看相关公式：

方差：

标准差：

离均差的平方：

离均差的平方根：

四种公式的计算结果：

上表可见，这四个公式对于公平性衡量结果已经不错，但仍未够理想。例如按4个公式计算结果一致的方案D和E，理论上应该是具有相同的公平程度的，但事实上这两个方案公平性并不一致。

最大值

如果我们对每个方案中，取最大任务数，作为公平性的衡量标准会怎么样呢？

其公式应该是:

那么应用于7个方案，其结果是：

这种衡量方式比方差还糟，它只关注一个员工（任务数最大那个）。因此，这种方式完全抛弃了员工之间的公平性。如果只是针对一个员工衡量其公平性还可行，但当对数据众多的员工一起衡量时就不行了。

任务数列

如果我们不使用任何公式作为公平性衡量标准，我们把所每个方案中，每个员工的任务数都列出来，形成一个任务数的数列，并从小到大把这数列排序，会怎么样？

从上表可以看，可以完美地对比各方案的公平性！那么在Optaplanner里要实现这种衡量方式，我们需要针对每个员工定一个分数级别，Optaplanner会按分数级别进行排序，来找最佳方案。但是，如果我们需要排的员工数量非常大呢？要实现这种衡量方式，除了在运行过程要消耗大量的内存外，如此大数量的评价级别，会与其它约束产生冲突，也难以实现。

不存在单独的约束

在规划问题中，公平性是一种典型的软约束。但在同一个规划问题中，同时存在其它软约束，这些约束也是需要进行优化考虑的。因此，我们需要为这些约束添加相应的权重，令它们互相制衡。

举例

例如同样是上述的任务分配规划问题，存在一个称为优先级约束，它的重要性是10倍于公平性约束。我们再往这个问题中添加1500个任务，我们看看其分配方案开来是怎样的：

计算软约束分数时，我们把公平性约束分数乘以５倍并加总，再取负。

接下来我们开始处理：

用单一数值表示

每个方案的任务数列并不代表一个单独的数值，因为这个数列中的每个数，对应于不同的评分级别。因此，任务数列无法跟优先级约束进行综合评价。如下表：

惩罚分数随着违反次数的增长而增长

如何我们将问题扩展到1500个员工，我们会发现，若取最大任务数作为约束，则该约束会被优先级约束矮化。

类似地，平均离均差、方差及标准差等衡量方式，其公平性，也会随着数量（即问题规模，通过任务与员工的数量体现）增大，而被矮化。如下表：

因此，随着公平性约束违反量的增多，衡量公平性的比重也应该随之增大。

公平性违反比重，不能随着违反量的增大而逞指数式增长

另一方面，当数据量增大时，公平性的违反比重不能对其它的约束起到矮化作用。如果使用方差作为衡量方式则会出现此情况，见下表。

结论

对于上述讨论到的公平性衡量方式：

• 绝对离均差作为公平性衡量方式时效果最差。
• 离均差的平方根作为公平性衡量方式，未尽完美但够用。

因此，推荐的方法是离均差的平方根：：

其效果见下表：

补充说明

处理的问题中，若存在非均等员工时。例如，有些员工的工作时候只有其它员工的一半，在将其代入公式计前，需要将他们可分配的任务数乘上他们FTP(full time equivalent,全职时间等价值)的倒数。其它需要考虑非均待员工的因素（例如残疾或人才保留对象），也可以使用类似的方法，或使用一些单独的约束进行区分，具体办法需视现实的业务需求而定。

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