【LGP4389】付公主的背包

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题目

退役前抄一道生成函数快乐一下

就是让我们做一个完全背包，但是朴素的做法显然是\(O(nm)\)的

把每一个物品搞成一个多项式，显然这个多项式所有\(v_i\)的倍数箱为\(1\)，剩下的为\(0\)

我们写成生成函数的话就是\(\frac{1}{1-x^{v_i}}\)

也就是我们我们要求的答案就是
\[\prod_{i=1}^n\frac{1}{1-x^{v_i}}\]

直接大力卷积是 \(O(nmlogn)\)的，好像还比暴力慢了一点

发现连乘并不是很好处理，考虑取一个\(\ln\)

变成

\[e^{\sum_{i=1}^n\ln(\frac{1}{1-x^{v_i}})}\]

也就是我们求出\(\sum_{i=1}^n\ln(\frac{1}{1-x^{v_i}})\)之后\(\exp\)回去就好了

考虑一下这个东西怎么求，先背一下定理\(\ln(\frac{1}{1-x^k})=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i}x^{ki}\)

证明一下

\[\begin{aligned} \ln(\frac{1}{1-x^k})&=\int (1-x^k)(\frac{1}{1-x^k})'dx\\&=\int (1-x^k)\sum_{i=1}^{\infty}ki\times x^{ki-1}dx\\&=\int (\sum_{i=1}^{\infty}ki\times x^{ki-1}-\sum_{i=1}^{\infty}ki\times x^{ki-1}\times x^k)dx\\&=\int (\sum_{i=1}^{\infty}ki\times x^{ki-1}-\sum_{i=1}^{\infty}k(i-1)\times x^{ki-1})dx\\&=\int \sum_{i=1}^{\infty} kx^{ki-1}dx\\&=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i}x^{ki}\end{aligned}\]

于是我们调和级数搞一下\(\sum_{i=1}^n\ln(\frac{1}{1-x^{v_i}})\)之后\(\exp\)就好了

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define re register
#define LL long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
inline int read() {
    char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
}
const int maxn=262144+5;
const int mod=998244353;
const int G[2]={3,(mod+1)/3};
int n,m,len;
int K[maxn],g[maxn],T[maxn],C[maxn],rev[maxn],inv[maxn],a[maxn],b[maxn],tax[maxn];
inline int ksm(int a,int b) {
    int S=1;
    while(b) {if(b&1) S=1ll*S*a%mod;b>>=1;a=1ll*a*a%mod;}
    return S;
}
inline void NTT(int *f,int o) {
    for(re int i=0;i<len;i++) if(i<rev[i]) std::swap(f[i],f[rev[i]]);
    for(re int i=2;i<=len;i<<=1) {
        int ln=i>>1,og1=ksm(G[o],(mod-1)/i);
        for(re int l=0;l<len;l+=i) {
            int t,og=1;
            for(re int x=l;x<l+ln;++x) {
                t=1ll*og*f[x+ln]%mod;
                f[x+ln]=(f[x]-t+mod)%mod;
                f[x]=(f[x]+t)%mod;
                og=1ll*og*og1%mod;
            }
        }
    }
    if(!o) return;
    int Inv=inv[len];
    for(re int i=0;i<len;i++) f[i]=1ll*f[i]*Inv%mod;
}
void Inv(int n,int *A,int *B) {
    if(n==1) {B[0]=ksm(A[0],mod-2);return;}
    Inv((n+1)>>1,A,B);
    len=1;while(len<n+n) len<<=1;
    for(re int i=0;i<len;i++) rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?len>>1:0);
    for(re int i=0;i<n;i++) g[i]=A[i];
    for(re int i=n;i<len;i++) g[i]=0;
    NTT(g,0),NTT(B,0);
    for(re int i=0;i<len;i++) B[i]=(2ll*B[i]-1ll*g[i]*B[i]%mod*B[i]%mod+mod)%mod;
    NTT(B,1);for(re int i=n;i<len;i++) B[i]=0;
}
void Ln(int n,int *A,int *B) {
    memset(C,0,sizeof(C)),memset(T,0,sizeof(T));memset(B,0,sizeof(B));
    for(re int i=1;i<n;i++) T[i-1]=1ll*i*A[i]%mod;
    Inv(n,A,C);len=1;while(len<n+n) len<<=1;
    for(re int i=0;i<len;i++) rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?len>>1:0);
    NTT(C,0),NTT(T,0);
    for(re int i=0;i<len;i++) C[i]=1ll*C[i]*T[i]%mod;
    NTT(C,1);for(re int i=1;i<n;i++) B[i]=1ll*C[i-1]*inv[i]%mod;
}
void Exp(int n,int *A,int *B) {
    if(n==1) {B[0]=1;return;}
    Exp((n+1)>>1,A,B);Ln(n,B,K);
    len=1;while(len<n+n) len<<=1;
    for(re int i=0;i<len;i++) rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?len>>1:0);
    for(re int i=0;i<n;i++) K[i]=(A[i]-K[i]+mod)%mod;
    for(re int i=n;i<len;i++) K[i]=0;K[0]++;
    NTT(B,0);NTT(K,0);
    for(re int i=0;i<len;i++) B[i]=1ll*B[i]*K[i]%mod;
    NTT(B,1);for(re int i=n;i<len;i++) B[i]=0;
} 
int main() {
    inv[1]=1;
    for(re int i=2;i<maxn;i++) inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    n=read(),m=read()+1;
    for(re int i=1;i<=n;i++) tax[read()]++;
    for(re int i=1;i<=m;i++) {
        if(!tax[i]) continue;
        for(re int j=1;j*i<=m;j++) 
            a[j*i]=(a[j*i]+1ll*inv[j]*tax[i]%mod)%mod;
    }
    Exp(m,a,b);
    for(re int i=1;i<m;i++) printf("%d\n",b[i]);
    return 0;
}

【LGP4389】付公主的背包

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