欧拉函数简介

标签：情况   数组   一点   相等   phi   最小   这一   max   rod   

在讲欧拉函数之前先给出剩余类、完全剩余系、简化剩余系的概念。

按照某一模m的余数将全体整数进行分类，就可以引入下面的概念。

1. 剩余类：把全体整数按其对模m同余的数归为一类，称为剩余类。

2. 完全剩余系：在每一个对模m同余的剩余类中选出一个数构成的拥有m个元素的集合，称为完全剩余系，简称完系。

　　容易有如下结论：

　　（1）任何m个连续整数构成对模m的完系。

　　（2）0,1,..,m-1构成对模m的最小非负剩余系。

　　（3）m=2k+1时：-k,-k+1,...,0,1,...,k构成对模m的最小绝对值完系; m=2k时：-k,-k+1,...,0,1,...,k-1构成对模m的最小绝对值完系。

　　（4）设gcd(b,m)=1，c为任意整数，a1,a2...am是对模m的一个完系，那么b*a1+c,b*a2+c,...,b*am+c也是对模m的一个完系。

3. 简化剩余系：在模m的每个剩余类中取一个和m互质的数构成的集合，称为简化剩余系。容易得出一个剩余类中的所有元素要么都和m互质，要么都和m不互质。

然后给出欧拉函数的概念：

4. 欧拉函数：把对模m的简化剩余系的元素个数称为m的欧拉函数，记为Φ(m).

　　显然欧拉函数表示0,1,...m-1中与m互质的数的个数。有争议的一点是Φ(1)的值是0还是1,关于这一点取决于具体题目中的具体描述而定。

　　求欧拉函数的方法是先将m分解质因数p1,p2...pn，这些质因数两两互不相等，则Φ(m)=m*∏(1-1/pi)。

　　求一个连续区间的欧拉函数的方法如下：

　　可以用上述方法对每一个求一次，但这样比较慢，一个好的方法是筛法，如下面演示如何用筛法求1~10的欧拉函数：

　　设一个数组eu[11]，eu[1]=1,eu[2]=2,...,eu[10]=10。然后对每一个下标是2的倍数的元素乘以(1-1/2)，则eu[2]=1,eu[4]=2,...,eu[10]=5，然后对每个下标是3的倍数的元素乘以(1-1/3)，则eu[3]=2,eu[6]=2,eu[9]=6。然后对5,7是同样的操作。这样对数组的每个元素，都得到了Φ(m)=m*∏(1-1/pi)。

　　以下是用筛法求欧拉函数的模板：

const int maxn=1005;
int eu[maxn];
//初始化eu[1]=1或0,根据实际情况而定
void eular(){
    for(int i=2;i<=1000;++i)
        if(!eu[i])
            for(int j=i;j<=1000;j+=i){
                if(!eu[j]) eu[j]=j;
                eu[j]=eu[j]/i*(i-1);
            }
}

欧拉函数简介

标签：情况   数组   一点   相等   phi   最小   这一   max   rod   

原文地址：https://www.cnblogs.com/FrankChen831X/p/10824625.html