标签：初始化 def nbsp 矩阵快速幂 names bin pow define 要求
我们熟知的斐波那契数列递推公式是：
\(f(n)=f(n-1)+f(n-2)\)
假设我们需要求斐波那契数列的第n项，当n非常大（如n=1e9)的时候，递推肯定超时。我们不妨设：
\(\binom{f_{n}}{f_{n-1}}=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\binom{f_{n-1}}{f_{n-2}}\)
将等式右边乘开，得到：
\(\binom{af_{n-1}+bf_{n-2}}{cf_{n-1}+df_{n-2}}\)
要使其等于等式左边，显然：
\(\binom{f_{n}}{f_{n-1}}=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\binom{f_{n-1}}{f_{n-2}}\)
如此递推下去，我们最终能够得到：
\(\binom{f_{n}}{f_{n-1}}=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}^{n-2}\binom{f_{2}}{f_{1}}\)
我们已知\(f1=1,f2=1\)，这样，我们就可以通过矩阵快速幂来求数列第n项了！ 像这样，对于所有的线性递推关系，我们都可以使用矩阵快速幂来优化ovo
模版如下(洛谷P3390 矩阵快速幂）：
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #define mod 1000000007 #define ll long long using namespace std; struct Matrix { ll m[101][101]; }a,e; ll n,k; Matrix mul(Matrix x,Matrix y) { Matrix c; for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=n;j++) { c.m[i][j]=0; } } for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=n;j++) { for(int k=1;k<=n;k++) { c.m[i][j]=c.m[i][j]%mod+x.m[i][k]*y.m[k][j]%mod; } } } return c; } Matrix mqpow(Matrix x,ll p) { Matrix ans=e; while(p!=0) { if(p%2) { ans=mul(ans,x); } x=mul(x,x); p/=2; } return ans; } int main() { scanf("%lld%lld",&n,&k); for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=n;j++) { scanf("%lld",&a.m[i][j]); } } for(int i=1;i<=n;i++) { e.m[i][i]=1; }//初始化 Matrix ans=mqpow(a,k); for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=n;j++) { printf("%lld ",ans.m[i][j]%mod); } printf("\n"); } return 0; }
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原文地址：https://www.cnblogs.com/Bw-Orzzzzz/p/10829115.html
