noip复习——线性筛(欧拉筛)

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整数的唯一分解定理：

\(\forall A\in \mathbb {N} ,\,A>1\quad \exists \prod _{i=1}^{s}p_{i}^{a_{i}}=A\)，其中\({\displaystyle p_{1}<p_{2}<p_{3}<\cdots <p_{s}}\)而且 \(p_{i}\)是一个质数, \(a_{i}\in \mathbb {Z} ^{+}\)(摘自维基百科)

欧拉筛通过使每个整数只会被它的最小质因子筛到来保证时间复杂度，可以用来筛质数。同时，利用这个性质可以在线性时间内筛出很多积性函数。

筛质数

for (int i = 2; i <= n; ++i)
{
    if (!vis[i])
        pri[++cnt] = i;
    for (int j = 1; j <= cnt && pri[j] * i <= n; ++j)
    {
        vis[i * pri[j]] = 1;
        if (i % pri[j] == 0)
            break;
    }
}

求欧拉函数\(\varphi\)

for (int i = 2; i <= n; ++i)
{
    if (!vis[i])
        pri[++cnt] = i,
        phi[i] = i - 1;
    for (int j = 1; j <= cnt && pri[j] * i <= n; ++j)
    {
        vis[i * pri[j]] = 1;
        if (i % pri[j])
            phi[i * pri[j]] = phi[i] * phi[pri[j]];
        else
        {
            phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j];
            break;
        }
    }
}

求莫比乌斯函数\(\mu\)

for (int i = 2; i <= n; ++i)
{
    if (!vis[i])
        pri[++cnt] = i,
        mu[i] = -1;
    for (int j = 1; j <= cnt && pri[j] * i <= n; ++j)
    {
        vis[i * pri[j]] = 1;
        if (i % pri[j])
            mu[i * pri[j]] = -mu[i];
        else
            break;
    }
}

求约数个数\(\sigma_0(d)\)

for (int i = 2; i <= n; ++i)
{
    if (!vis[i])
        pri[++cnt] = i,
        f[i] = 1,
        d[i] = 2;
    for (int j = 1; j <= cnt && pri[j] * i <= n; ++j)
    {
        vis[i * pri[j]] = 1;
        if (i % pri[j])
            f[i * pri[j]] = 1, d[i * pri[j]] = d[i] * d[pri[j]];
        else
        {
            f[i * pri[j]] = f[i] + 1;
            d[i * pri[j]] = d[i] / (f[i] + 1)* (f[i] + 2);
            break;
        }
    }
}

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原文地址：https://www.cnblogs.com/happyLittleRabbit/p/10840167.html